创新设计高三数学一轮复习 导数的应用课件 北师大

了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 会求闭区间上函数的最大值 最小值 会利用导数解决某些实际问题 2 11导数的应用 1 函数在某区间上单调的充分条件一般地 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 为这个区间内的减函数 2 函数的极大值在包含x0的一个区间 a b 内 函数f x 在任何一点的函数值不大于x0点的函数值 就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 x0是极大值点 提示 可模仿函数极大值的定义给出函数极小值的定义 f x 3 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个开区间 并列成表格检查 f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 4 利用导数求函数的最值步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较得出函数f x 在 a b 上的最值 1 对于R上可导的任意函数f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 解析 x 1 f x 0 或 函数y f x 在 1 上单调递减 f 0 f 1 在 1 上单调递增 f 2 f 1 f 0 f 2 2f 1 函数y f x 可为常数函数 f 0 f 2 2f 1 故选C项 答案 C 2 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 A 2B 0C 2D 4解析 f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0 x 2 舍去 比较f 1 f 0 f 1 的大小知f x max f 0 2 选C项 答案 C 3 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1个B 2个C 3个D 4个解析 f x 0单调递增 f x 0 由题中图象可知只有1个极小值点 答案 A 4 2010 开封高三月考 函数f x x3 bx2 cx d的大致图象如右图 则等于 解析 由题图可知f 1 f 0 f 2 0 解得 b 1 c 2 d 0 则f x 3x2 2x 2 则答案 C 此类题主要考查求函数的导数 单调性的判定以及单调性的应用 是高考考查的重点 考题可能以小题形式出现 也可以以中档大题形式出现 应注意函数y f x 在区间 a b 上可导 则f x 0是函数y f x 在 a b 上递增的充分条件 并非充要条件 例1 设a为实数 函数f x x3 ax2 a2 1 x在 0 和 1 都是增函数 求a的取值范围 解答 f x 3x2 2ax a2 1 其判别式 4a2 12a2 12 12 8a2 1 若 12 8a2 0 即a 当x 或x 时 f x 0 f x 在 为增函数 所以a 2 若 12 8a20 f x 在 为增函数 3 若 12 8a2 0 即 令f x 0 解得当x x1 或x x2 时 f x 0 f x 为增函数 当x x1 x2 时 f x 0 f x 为减函数 依题意x1 0且x2 1 由x1 0得 从而a 1 综上 a的取值范围为 变式1 设x 1和x 2是函数f x x5 ax3 bx 1的两个极值点 1 求a和b的值 2 求f x 的单调区间 解答 1 f x 5x4 3ax2 b 由假设知 f 1 5 3a b 0f 2 24 5 22 3a b 0 解得a b 20 2 由 1 知f x 5x4 3ax2 b 5 x2 1 x2 4 5 x 1 x 2 x 1 x 2 当x 2 1 1 2 时 f x 0当x 2 1 1 2 时 f x 0 因此f x 的单调增区间是 2 1 1 2 f x 的单调减区间是 2 1 1 2 1 此类题主要考查求函数的极值以及极值的应用 经常与单调性 最值知识结合应用于与函数有关的数学问题中 高考时可以以选择题 填空题形式出现 也可出现在中档大题中 2 应注意函数y f x 在x x0处可导 且函数y f x 在x x0处取得极值 则f x0 0 3 要特别关注三次函数的单调性和极值问题 例2 已知函数f x x x a x b 在x s x t处取到极值 其中a 0 b 0 1 设A s f s B t f t 求证线段AB中点在曲线y f x 上 2 若a b 2 判断过原点且与曲线y f x 相切的两条直线是否垂直 解答 1 f x x x a x b x3 a b x2 abx f x 3x2 2 a b x ab 由已知条件即 则3 s2 t2 2 a b s t 0 s t 线段AB中点在曲线y f x 上 2 设过原点且与曲线y f x 相切的直线与曲线的切点为 t t3 a b t2 abt 则 3t2 2 a b t ab 整理得t 或t 0 舍去 则过原点的与曲线y f x 相切的两条直线的斜率分别为ab 因此过原点且与曲线y f x 相切的两条直线不垂直 变式2 已知函数f x ax3 cx d a 0 是R上的奇函数 且f 1 0 f 1 2 1 求a c d的值 2 在y f x 的图象C上任取一点P 在点P处的切线l与曲线C的另一个交点为Q 设点P的横坐标为t 线段PQ的中点R的纵坐标为u 用t表示u 当t 0时 求u的最大值 解答 1 f x ax3 cx d f x 3ax2 c 根据已知条件即解得 2 由f x x3 x f x 3x2 1 P点坐标 t t3 t 联立整理得 x t 2 x 2t 0 则Q点坐标为 2t 8t3 2t 要注意区分函数最大 小 值与函数极值的区别 联系 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 是局部性概念 而函数的最大 小 值是比较整个定义区间的函数值得出的 是对整个定义域而言的 在闭区间 a b 上连续函数f x 的最大 小 值 是开区间 a b 内所有极大 小 值与f a f b 中的最大 小 值 例3 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为1m的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 如下图所示 试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时 帐篷的体积最大 解答 由题图 设OO1为xm 则10 V x 为增函数 当2 x 4时 V x 0 V x 为减函数 所以当x 2时 V x 最大 当OO1为2m时 帐篷的体积最大 1 在利用导数确定函数单调性时要注意结论 若y f x 在 a b 内可导 且f x 0 则f x 在区间 a b 上是增函数 的使用方法 此结论并非充要条件如f x x3 在 上是递增的 但f 0 0 因此已知函数的单调区间求函数关系式中字母范围时 要对f x 0处的点进行检验 2 若函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较其中最大的是最大值 最小的是最小值 3 特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值 极小值即为函数的最小值 方法规律 本题满分12分 已知函数f x x3 ax2 bx 且f 1 0 1 试用含a的代数式表示b 2 求f x 的单调区间 3 令a 1 设函数f x 在x1 x2 x1 x2 处取得极值 记点M x1 f x1 一步N x2 f x2 证明 线段MN与曲线f x 存在异于M N的公共点 解答 1 由已知f x x2 2ax b 又f 1 0 则1 2a b 0 即b 2a 1 2 f x x2 2ax 2a 1 x 2a 1 x 1 若 2a 1 1即a 1 f x x 1 2 0 则f x 的递增区间为 若 2a 1 1 则f x 的递增区间为 1 2a 1 递减区间为 1 2a 1 若 2a 1 1 即a 1 则f x 的递增区间为 1 1 2a 递减区间为 1 1 2a 答题模板 3 由a 1 f x x 1 x 3 f x x3 x2 3x 则当x 1 x 3时 f x 取到极值f 1 f 3 9 9 9 9 即两极值点处的坐标为 3 9 不妨设M N 3 9 所以过 3 9 两点的直线MN的方程为 由 消去y整理得x3 3x2 x 3 0 令g x x3 3x2 x 3 g 0 3 g 2 8 12 2 3 1 g 0 0 g 2 0知g x 在 0 2 上存在零点 即线段MN与曲线f x 存在异于M N的公共