创新设计高三数学一轮复习 函数与方程课件 北师大

了解函数零点的概念 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法 能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数 2 8函数与方程 1 函数的零点 1 函数零点的定义 函数y f x 的图像与横轴交点的横坐标称为函数y f x 的零点 2 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有 零点 思考 函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 提示 函数的零点不是函数y f x 与x轴的交点 而是y f x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 3 定理 如果函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间内至少有一个零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 f a f b 0 a b 2 二分法求方程的近似解 1 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 一分为二 零点 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点c 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即 若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 1 若函数y f x 在R上递增 则函数y f x 的零点 A 至少有一个B 至多有一个C 有且只有一个D 可能有无数个答案 B 2 如图所示的函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 A B C D 答案 B 3 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次经计算f 0 0可得其中一个零点x0 第二次应计算 以上横线上应填的内容为 A 0 0 5 f 0 25 B 0 1 f 0 25 C 0 5 1 f 0 75 D 0 0 5 f 0 125 解析 本题是考查了利用二分法求零点的有关知识 f x x3 3x 1是R上的连续函数 且f 0 0 则f x 在x 0 0 5 上存在零点 且第二次验证时需验证f 0 25 的符号 答案 A 4 函数y x2 2x 2 9的图象与x轴交点的个数是 解析 令y 0 x2 2x 3 x2 2x 3 0 x2 2x 3 0 x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 即方程f x 0只有两个实数根 答案 2 5 2009 安徽名校联考二 函数f x lnx x2 2x 5的零点个数为 解析 令lnx x2 2x 5 0得lnx x2 2x 5 画图可得函数y lnx与函数y x2 2x 5的图象有2个交点 即函数f x 的零点个数为2 答案 2 对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑 1 结合函数图象 2 根据零点存在定理求某些点的函数值 3 利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等 例1 函数f x log3x x 3的零点一定在区间 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 解法一 函数f x log3x x 3的定义域为 0 并且在 0 上递增连续 又f 2 log32 1 0 f 3 1 0 函数f x log3x x 3有唯一的零点且零点在区间 2 3 内 解法二 方程log3x x 3 0可化为log3x 3 x 在同一坐标系中作出y log3x和y 3 x的图象如图所示 可观察判断出两图象交点横坐标在区间 2 3 内 答案 C 变式1 函数f x log3x x 2的零点的个数是 A 0B 1C 2D 3解析 方程log3x x 2 0 可化为log3x x 2在同一坐标系中作出y log3x与y x 2的图象如右图所示 可观察出两图象有两个不同交点 故选C 答案 C 求函数的零点可先估计零点所在的区间 然后根据精确度的要求利用二分法求出零点的近似值 例2 利用计算器 求方程lgx 3 x的近似解 精确到0 1 解答 如图 由函数y lgx与y 3 x的图象可以发现 方程lgx 3 x有唯一解 记为x1 并且这个解在区间 2 3 内 设f x lgx x 3 用计算器计算 得 f 2 0 x1 2 3 f 2 5 0 x1 2 5 3 f 2 5 0 x1 2 5 2 75 f 2 5 0 x1 2 5 2 625 f 2 5625 0 x1 2 5625 2 625 因为2 625与2 5625精确到0 1的近似值都为2 6 所以原方程的近似解为 x1 2 6 变式2 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确到0 01 解答 由于f 1 0 f x x3 x 1在区间 1 1 5 存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 1 328125 1 3203125 0 007 0 01 至此可以看出 函数的零点落在区间长度小于0 01的区间 1 3203125 1 328125 内 因为该区间的所有值精确到0 01都是1 32 因此1 32是函数f x x3 x 1精确到0 01的一个近似零点 利用二分法求函数的零点运算繁琐枯燥 为了避免重复机械的劳动 可借助计算机将能够用二分法求函数零点的问题程序化 例3 写出用区间二分法求方程x3 x 1 0在区间 a b 内的一个近似解的一个算法并画出程序框图 解答 如果估计出方程f x 0在某区间 a b 内有一个根x 就能用二分法搜索求得符合误差c的近似解 它的算法可表示为 S1取 a b 的中点 x0 将区间一分为二 S2若f x0 0 则x0就是方程的根 否则判断根x 在x0的左侧还是右侧 若f a f x0 0 则x x0 b 以x0代替a 若f a f x0 0 则x a x0 以x0代替b S3若 a b c 计算终止 此时x x0 否则转S1 程序框图 1 对于函数y f x x D 我们把使f x 0的实数x叫做函数的零点 注意以下几点 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 3 一般我们只讨论函数的实数零点 4 函数的零点不是点 是方程f x 0的根 方法规律 2 对函数零点存在的判断中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 事实上 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 3 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法 其实质是通过不断地 取中点 来逐步缩小零点所在的范围 当达到一定的精确度要求时 所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值 4 要熟练掌握二分法的解题步骤 尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断 2009 天津 设函数f x x lnx x 0 则y f x A 在区间 1 e 内均有零点B 在区间 1 e 内均无零点C 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点D 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 解析 由题意 得f f 1 0且f 1 f e 0 又f x 当0 x 3时 f x 0 f x 在 0 3 上单调递减 所以D正确 答案 D 答题模板 1 本题考查函数零点的相关知识 考题的命制 直接给出函数解析式 然后设计了四个选项 意在通过对问题的判断 直接考查