分类讨论思想方法

分类讨论思想方法 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时 有时会有多种情况 对各种情况加以分类 并逐类求解 然后综合求解 这就是分类讨论法 分类讨论是一种逻辑方法 也是一种数学思想 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性 综合性 探索性 能训练人的思维条理性和概括性 所以在高考试题中占有重要的位置 一 在什么情况下要进行分类讨论 1 数学中的某些概念 定理 性质 法则 公式是分类定义或分类给出的 在运用它们时要进行分类讨论 2 研究含参数的函数 方程 不等式等问题 由参数值的 量变 而导致结果发生 质变 因而也要进行分类讨论 3 在研究几何问题时 由于图形的变化 图形位置不确定或形状不确定 引起问题结果有多种可能 就需要对各种情况分别进行讨论 4 含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题 其解题的基本策略 就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分 转化为最基本 最简单的排列组合问题 然后结合加法原理或乘法原理完成解答 5 树立划分意识 训练思维的严谨性 保证解题的正确与完整 二 分类讨论的步骤 原则和方法 1 分类评论的一般步骤是 明确讨论对象 确定对象的全体 确定分类标准 正确进行分类 逐步进行讨论 获取阶段性结果 归纳小结 综合得出结论 2 逻辑划分应遵循的原则 分类的对象是确定的 标准是统一的 不遗漏 不重复 分层次 不越级讨论 3 多层次分类及 二分法 处理复杂问题的分类方法 4 分类讨论后如何归纳结论 1 统一式 针对变量分类讨论的 且在不同条件下问题有不同的结论 归纳结论时应采用分列式 2 分列式 针对参数分类讨论的 且每一类讨论结果均是总结论的一个子集 归纳结论时应采用统一式 三 灵活运用逻辑划分的思想方法 1 通过 补集 间接求解 2 有条件时 尽量减少分类层次 寻求整体解决方法 再现性题组 1 集合A x x 4 x R B x x 3 a x R 若AB 那么a的范围是 A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 2 若a 0且a 1 p q 则p q的大小关系是 A p q B pq D 当a 1时 p q 当0 a 1时 p q 3 函数的值域是 5 函数的值域是 A 2 B 2 2 C D 2 2 6 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形 则它的体积为 A B C D 或 5 过点P 2 3 且在坐标轴上的截距相等的直线方程是 A 3x 2y 0 B x y 5 0 C 3x 2y 0或x y 5 0 D 不能确定 示范性题组 例1 设00且a 1 比较 与 的大小 分析 对数函数的性质与底数a有关 而分两类讨论 解 01 0 当a 1时 由 可知 例2 已知集合A和集合B各含有12个元素 A B含有4个元素 试求同时满足下面两个条件的集合C的个数 CA B且C中含有3个元素 C A 分析 由已知并结合集合的概念 C中的元素分两类 属于A元素 不属于A而属于B的元素 并由含A中元素的个数1 2 3 而将取法分三种 解 1084 另解 排除法 例3 设函数f x ax 2x 2 对于满足10 求实数a的取值范围 分析 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题 先对开口方向讨论 再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论 也属数形结合法 解 当a 0时 f x a x 2 a 1或 当a 0时 解得 当a 0时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 不合题意 由上而得 实数a的取值范围是a 例4 解不等式 0 a为常数 a 分析 含参不等式 参数a决定了2a 1的符号和两根 4a 6a的大小 故对a 0 a 0 a 0 a 分别加以讨论 解 2a 1 0时 a 4a0 所以分以下四种情况讨论 当a 0时 x 4a x 6a 0 解得 x6a 当a 0时 0 解得 x 0 当 0 解得 x 4a 当a 时 x 4a x 6a 0 解得 6a x 4a 综上所述 注 含参问题 结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论 含参型 z为实数或纯虚数 例5 设a 0 在复数集C中 解方程 2 z a 90年全国高考 解 z R 由 2 z a得 R 当z R时 2 z a 解得 z 1 z 1 当z为纯虚数时 设z y y 0 2y a解得 y 1 0 a 1 由上可得 z 1 或 1 注 本题用标准解法 设z x y 再代入原式得到一个方程组 再解方程组 过程十分繁难 而挖掘隐含 对z分两类讨论则简化了数学问题 简化型 另解 设z x y 代入得 当y 0时 例6 在xoy平面上给定曲线y 2x 设点A a 0 a R 曲线上的点到点A的距离的最小值为f a 求f a 的函数表达式 本题难度0 40 分析 求两点间距离的最小值问题 先用公式建立目标函数 转化为二次函数在约束条件x 0下的最小值问题 而引起对参数a的取值讨论 解 设M x y 为曲线y 2x上任意一点 则 由于 2x限定x 0 所以分以下情况讨论 当a 1 0时 x a 1取最小值 即 当a 1 0时 x 0取最小值 即 综上所述 有f a 巩固性题组 1 若 1 则a的取值范围是 7 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是 A 7 B 6 C 5 D 4 8 z C 方程 3 z 2 0的解的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 9 复数z a a a 0 的辐角主值是 10 解关于x的不等式 2log 2x 1 log x a a 0且a 1 11 设首项为1 公比为q q 0 的等比数列的前n项和为S 又设 求T 12 若复数z z z在复平面上所对应三点A B C组成直角三角形 且 z