创新设计高三数学一轮复习 第11知识块第3讲概率的应用课件 北师大

考纲下载 1 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 2 了解几何概型的意义 第3讲模拟方法 概率的应用 1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 则称这样的概率模型为几何概型 2 几何概型中 事件A的概率计算公式P A 成比例 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 每个结果的发生具有等可能性 4 求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和整个区域 的几何度量 然后代入公式即可求解 无限性 等可能性 思考 古典概型与几何概型的区别 答案 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的 但古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 一个路口的红绿灯 红灯的时间为30秒 黄灯的时间为5秒 绿灯的时间为40秒 当某人到达路口时看见的是红灯的概率是 A B C D 解析 以时间的长短进行度量 故答案 B 1 2009 福建质检 如右图 正方形ABCD的边长为2 EBC为正三角形 若向正方形ABCD内随机投掷一个质点 则它落在 EBC内的概率为 解析 正方形的面积为4 S EBC 2 2 sin60 所以质点落在 EBC内的概率为 答案 B 2 2009 辽宁 ABCD为长方形 AB 2 BC 1 O为AB的中点 在长方形ABCD内随机取一点 取到的点到O的距离大于1的概率为 解析 根据几何概型概率公式得概率为0答案 B 3 在区间 1 3 上任取一数 则这个数大于1 5的概率为 解析 在 1 5 3 内任取一数 则此数大于等于1 5 因此所求此数大于等于1 5的概率P 0 75 4 答案 0 07 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为P A 2009 福建 点A为周长等于3的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点B 则劣弧的长度小于1的概率为 思维点拨 在圆周上取出三等分点 注意点B在点A的两侧情况都要考虑 例1 解析 如右图 设A M N为圆周的三等分点 当B点取在优弧上时 对劣弧来说 其长度小于1 故其概率为 答案 有一段长为10米的木棍 现要截成两段 则每段不小于3米的概率为 解析 记 截得两段都不小于3米 为事件A 从木棍的两端各度量出3米 这样中间就有10 3 3 4 米 在中间的4米长的木棍处截都能满足条件 所以P A 0 4 答案 0 4 变式1 1 若将问题几何化 经判断是与面积有关的几何概型 便可应用公式P A 求其概率 2 若将问题几何化 经判断是与体积有关的几何概型 便可应用公式P A 求其概率 设关于x的一元二次方程x2 2ax b2 0 若a是从区间 0 3 任取的一个数 b是从区间 0 2 任取的一个数 求上述方程有实根的概率 思维点拨 实验的全部结果和构成事件A的区域是由点 a b 构成 例2 解 设事件A为 方程x2 2ax b2 0有实根 当a 0 b 0时 方程x2 2ax b2 0有实根的充要条件为a b 试验的全部结果所构成的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 构成事件A的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 a b 所以所求的概率为P A 射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环 从外向内白色 黑色 蓝色 红色 靶心为金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径是122cm 靶心直径12 2cm 运动员在70米外射箭 假设都能中靶 且射中靶面内任一点是等可能的 求射中 黄心 的概率 变式2 解 记 射中黄心 为事件A 由于中靶点随机的落在面积为 1222cm2的大圆内 而当中靶点在面积为 12 22cm2的黄心时 事件A发生 于是事件A发生的概率P A 0 01 所以射中 黄心 的概率为0 01 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型 难点是把两个时间分别用x y两个坐标表示 构成平面内的点 x y 从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题 转化成面积型几何概型问题 甲 乙两艘轮船都要停靠同一个泊位 它们可能在一昼夜的任意时刻到达 甲 乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时 求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率 例3 解 甲比乙早到4小时内乙需等待 甲比乙晚到2小时内甲需等待 以x和y分别表示甲 乙两船到达泊位的时间 则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为 2 xy 4 在如右图所示的平面直角坐标系内 x y 的所有可能结果是边长为24的正方形 而事件A 有一艘船停靠泊位时须等待一段时间 的可能结果由阴影部分表示 由几何概型公式得 P A 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 方法规律 1 几何概型的两个特点 一是 无限性 即在一次试验中 基本事件的个数是无限的 二是 等可能性 即每个基本事件发生的可能性是均等的 因此 用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的 同属于 比例解法 即随机事件A的概率可以用 事件A包含的基本事件所占的图形面积 体积 长度 与 试验的全部基本事件所占的总面积 体积 长度 之比来表示 2 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型 二者的共同点是基本事件都是等可能的 不同点是基本事件的个数一个是无限的 一个是有限的 基本事件可以抽象为点 对于几何概型 这些点尽管是无限的 但它们与所占据的区域却是有限的 根据等可能性 这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比 而与该区域的位置和形状无关 在等腰直角三角形ABC中 直角顶点为C 在 ABC的内部任作一条射线CM 与线段AB交于点M 求AM AC的概率 阅卷实录 教师点评 规范解答 由于在 ACB内作射线CM 等可能分布的