线代与解几复习--1.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除1、行列式的性质与计算法一：拉普拉斯定理展开寻找行列式中最简单的一行（列）利用初等变换将该行（列）化为只有一个非零元素利用拉普拉斯定理，按这一行（列）展开；重复以上步骤，直到降为2阶，3阶行列式。法二：利用三角形行列式对行列式施以初等变换，使其化为三角形行列式，利用三角形行列式的特殊结论计算。法三：利用行列式的定义注意：阶行列式的计算不存在对角线法则。2、(克莱姆法则) 若线性方程组的系数行列式, 则线性方程组(1)有且仅有唯一解,其解为 ，其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式.3、矩阵的加减运算（条件：同型矩阵），数乘运算（无条件：任何矩阵都可以进行数乘运算），矩阵的乘法（条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数），矩阵的乘法一般不满足交换律，即，如果两矩阵相乘, 有则称A与B可换. 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出矩阵乘法满足的运算律：结合律，左、右分配律 ，矩阵的转置(或).性质： 对称矩阵（）. 性质：，若为对称矩阵，则也为对称矩阵，但不一定为对称矩阵。对任意矩阵，均为对称阵。方阵的幂，且规定 例 已知，求。解：n阶方阵的行列式|A|满足运算规律(设为阶方阵, 为常数)： 逆矩阵（存在阶方阵，使，则称为可逆矩阵或非奇异阵）性质（1）可逆矩阵有唯一的逆矩阵，（2）若可逆，则也可逆且（3）若同阶方阵都可逆，则可逆且；反之，若可逆，则也可逆，（4）若可逆，则也可逆且， (5) 且可逆，且可逆，（6）若矩阵可逆, 也可逆且。例 若满足，求证：可逆，并求。例 已知矩阵满足，求证与不同时可逆。分块矩阵的计算（把子快作为元素看待）矩阵的初等变换对A的行施以某种初等变换得到的矩阵，相当于用相应的初等矩阵左乘A ，对A的列施以某种初等变换得到的矩阵，相当于用相应的初等矩阵右乘A（逆矩阵定理）设为阶矩阵，那么下列各命题等价：(1)是可逆矩阵；(2)齐次线性方程组只有零解；(3)可以经过有限次初等行变换化为；(4)可表示为有限个初等矩阵的乘积矩阵的秩（不为零的子式的最高阶数）行阶梯形矩阵:(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2) 每一行第一个非零元的所在列中，该非零元下方的元素全为0.行最简形矩阵：(1) 每一行第一个非零元都是1；(2) 每一行第一个非零元的所在列的其余元素都是零.利用初等变换求矩阵的秩的方法：用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.求逆矩阵：伴随矩阵法与初等变换法伴随矩阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的矩阵伴随矩阵法求判断是否可逆，求出所有，由公式，求出的逆矩阵，特别有，二阶方阵可逆，则初等变换方法 （1）作一个的矩阵； （2）对矩阵作单一的行变换（3）解矩阵方程，例求解矩阵方程，则。也可对作单一的行变换，则。4、解线性方程组设非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩, 即且当时有唯一解;当时有无穷多解.设齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当时，的行阶梯形矩阵中含有个非零行，把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余个作为自由未知量. 对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.5、（投影定理） 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦 , 即 其中为向量与轴的夹角。6、非零向量的方向角、模与坐标7、两向量的数量积(内积) ，为向量与的夹角，、，的充分必要条件是，向量内积的运算规律， 1) 交换律: ，2) 分配律： ，3) 结合律：8、向量的向量积(外积) ，其模，其方向按成右手系确定，为向量与的夹角。是以为邻边的平行四边形的面积。设、，则与的向量积/的充分必要条件是 运算规律 1) (即不满足交换律)， 2) 分配律： 3) 结合律： 9向量的混合积为以为棱的平行六面体的体积或体积的相反数。设、，则 若，则它们共面的充要条件是：即10、平面的方程（1） 点法式方程平面，上的点与其法向量，则（2） 平面的一般方程，其中不全为零（3）截距式方程， ，其中称为平面在三坐标轴上的截距 。11平面的位置， （1） 若 ，平面过原点，（2）中有一个为零，则平面平行于坐标轴，例平面方程为，平面平行于轴；（3）中有两个为零，则平面与坐标轴垂直，例平面方程为平面与轴垂直，特别， ，平面； ，平面； ，平面。12、空间一点到平面的距离点到平面的距离13、两平面的夹角，两平面的法向量为， 为两平面的夹角，则 平面/平面 平面平面14、一空间直线的方程（1）直线的参数方程已知直线过点，为直线的方向向量，则直线的参数方程为： （2）直线的标准方程，式中不全为零，注：若有一个或两个为零，如，则约定，如，则约定 .（3） 两点式方程，直线过两点与，则直线的方程（4）直线的一般式方程为，其中不平行。一般方程化标准方程例 将直线化为标准方程。解： 令，代入解得，于是直线过，可取直线的方向向量故直线的标准方程为：15空间直线的位置关系为与的夹角（一般指锐角）， / 与/ 例 求直线与的夹角解： 的方向向量的方向向量，所以 点到直线的距离 求点到直线的距离例求点到直线的距离。解：在直线上取一点，直线的方向向量为：， ， 直线与平面的夹角为，那么有，于是，故16平面束设直线为：，则除了平面外，过直线的所有平面都可表示为：，为常数，称为过直线的平面束方程。例6 求直线在平面上的投影直线的方程。解：过直线作平面与平面垂直，则平面与平面的交线为所求直线。过直线的平面束方程为：， 即 由于平面与平面垂直，所以有： 即有： ， 所以平面的方程为： 直线在平面上的投影直线的方程为：17曲面与方程母线平行于坐标轴的柱面方程（三元方程中若缺、中某变量）例 准线：平面上的曲线母线与轴平行.学习资料旋转曲面例以轴为旋转轴设坐标面上有一已知曲线，方程为，绕轴旋转一周。在方程中，将改写为即得到曲线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程。例 在坐标面上有绕轴旋转一周为圆柱面：即18空间曲线与方程空间曲线的一般方程空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为：，从方程组中消去变量后得到方程：，这是以曲线为准线，母线平行于轴的柱面，方程组表示空间曲线在坐标面上的投影。例 已知两球面的方程为及求它们的交线在面上的投影方程解 消去变量，得投影柱面方程于是投影方程为19向量运算，向量空间及其子空间，向量组的线性组合，线性表示。，使用矩阵的初等变换来判断向量能否由向量组线性表示，记，对矩阵施以初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，比较与，如果，则不能被向量组线性表示；如果，则可以被向量组线性表示，继续对施以初等行变换，使它变成行最简形矩阵，得出线性表示。例证明向量能由向量组线性表示，并求出相应的组合系数。 解： ，所以 向量组与向量组能互相线性表示，向量组与向量组等价向量组的线性相关性存在一组不全为零的数 ，使得：成立，则向量组线性相关。设维向量组，记矩阵， ，那么以下三个命题等价： 向量组线性相关； 齐次线性方程组有非零解； ，即矩阵的秩小于向量组所含向量的个数。例 已知向量组线性无关， 证明向量组线性无关。证：设有使，即， 因线性无关，所以有：，因其系数行列式，所以方程组只有零解，即，所以向量组线性无关。例 已知向量 讨论向量组及向量组的线性相关性； 向量能否由向量组线性表示，若能，求向量关于向量组的线性组合表示式。 解： ，所以向量组线性相关；而所以向量组线性无关。 为了求得向量关于向量组的线性组合表示式，将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵： ， 所以向量组的极大无关组例 设向量组：求向量组的一个极大无关组，并将其它向量用极大无关组线性表示。解：所以， 就是向量组的一个极大无关组，则有，所以， 向量空间的基、维数与向量的坐标，基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵.基础解系，求（齐次）非齐次线性方程组的通解。例 求非齐次线性方程组的通解。解： 与原方程组同解方程组为： ，其导出组的解系为：，特解为：，通解为：，其中为任意实数。20 矩阵的特征值，相似矩阵（存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与相似，记为，为相似变换矩阵），矩阵相似对角化阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量。若阶方阵有个互不相等的特征根，则阶方阵一定可对角化，反之则不一定。阶矩阵可对角化有个线性无关的特征向量， 对的每一个重特征根，有，对的每一个重特征根，的基础解系由 个向量组成。矩阵对角化的步骤：求矩阵的全部特征根；对不同的，求的基础解系；若能求出个线性无关的特征向量，则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵，则有，其中要和对应。例 判定矩阵是否可以对角化，若能，写出相应的例 设3阶方阵的特征根为：；对应的特征向量依次为：，求. 解：因的特征根为：；故取，而是依次对应的特征向量，所以取：，则因为，所以有，即： 相似矩阵的应用-求矩阵的高次幂 向量的内积，向量的正交性，施密特正交化法例 用施密特正交化方法将向量组：规范正交化。解：取；再将其标准化：， ，实对称矩阵的对角化例 ，求正交阵，使得.解：当时，解方程组，基础解系为当时，解方程组，基础解系为，将正交化，令单位化：，： 令，则有二次型，矩阵的合同（存在阶非奇异矩阵，使得，则矩阵合同于矩阵，记为： ）任何一个二次型都可以通过非退化线性变换变成标准形。二次型变成标准形有配方法、合同线性变换（初等变换法）和正交化方法。例用配方法化二次型为标准形，并求出相应的满秩线性变换。解：令，则原二次型化为：令，即，则所以，即，令，故在满秩线性变换，即，则原二次型化为标准形：用合同线性变换（矩阵的初等变换）法化二次型为标准形， 例：求在合同线性变换下，化二次型为标准形。 解：二次型的矩阵，所以，在合同线性变换下，即， 原二次型化为标准形：用正交化方法例求一正交变换，化二次型为标准形。解：二次型的矩阵为：由 求得的特征根为：，当时，解齐次方程组，得其基础解系为： ；当时，解齐