创新设计高三数学一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 北师大

能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程 判断两圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 8 5直线与圆 圆与圆的位置关系 1 设直线l Ax By C 0 圆C x a 2 y b 2 r2 圆心到直线的距离d 1 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r d r 直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相离 2 看直线与圆组成的方程组有无实数解 有解 直线与圆有公共点 有一组则相切 有两组 则相交 b无解 则相离 2 两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断 两圆O1 O2的半径分别为r1 r2 相离 O1O2 r1 r2 外切 O1O2 r1 r2 内切 O1O2 r1 r2 内含 O1O2 r1 r2 相交 r1 r2 O1O2 r1 r2 1 已知直线mx 3y 4 0与圆 x 2 2 y2 5相交于两点A B 若 AB 2 则m的值是 解析 由已知弦长 可知圆心到直线的距离为d 2 利用点到直线的距离公式代入即可求得 答案 B 2 如图 从圆x2 2x y2 2y 1 0外一点P 3 2 向这个圆作两条切线 则两切线夹角的余弦值为 解析 tan APC 则cos APB 答案 B 3 直线x 7y 5 0分圆x2 y2 1所成两部分弧长之差的绝对值是 解析 弦心距d 故直线把单位圆分成与的两段弧 答案 C 4 过点P 1 的直线l将圆 x 2 2 y2 4分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 直线l的斜率k 解析 如图 kPC k 答案 1 若点P x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则过P x0 y0 点的切线方程为x0 x y0y r2 2 过点P x0 y0 作圆C的切线 若点在圆上切线有一条 若点在圆外切线有两条 求过P x0 y0 点与圆C相切的直线方程的方法大致有两种 判别式法 更多的是使用点到直线的距离公式使圆心到切线的距离等于圆的半径 例1 自点A 3 3 发出的光线l射到x轴上 被x轴反射 其反射光线所在直线与圆x2 y2 4x 4y 7 0相切 如图所示 求光线l所在的直线方程 解答 解法一 设入射光线l所在直线方程为y 3 k x 3 点A关于x轴对称点为A 3 3 反射光线所在直线经过点A 又 光线的入射角等于反射角 反射光线所在直线的方程为kx y 3k 3 0 反射光线与圆x2 y2 4x 4y 7 0相切 1 解之得k 入射光线l所在直线方程为 y 3 x 3 或y 3 x 3 即3x 4y 3 0或4x 3y 3 0 解法二 圆C x2 y2 4x 4y 7 0关于x轴的对称圆C 的方程为x2 y2 4x 4y 7 0 因入射光线经x轴反射后与圆C相切 则入射光线所在直线与圆C 相切 设 l y 3 k x 3 即kx y 3k 3 0 圆C 的圆心 2 2 到l距离与半径相等 1 k 入射光线所在直线方程3x 4y 3 0或4x 3y 3 0 变式1 点P 3 1 在椭圆 1 a b 0 的左准线上 过点P且方向向量为a 2 5 的光线经直线y 2反射后通过椭圆的左焦点 则这个椭圆的离心率为 解析 本题考查椭圆的有关概念 直线的方向向量 光线反射定律及有关的计算 由题意 3 a2 3c 又点P 3 1 关于直线y 2的对称点为P 3 5 椭圆左焦点为F c 0 由光的反射定律 反射光线经过点P 和F且其方向向量为 2 5 c 3 5 c 3 2 c 1 又a c e 故选A项 答案 A 已知点P x y 在圆上 求形如x y 的最值等问题 可类似于解线性规划问题 利用其几何意义将问题转化为圆的切线问题 例2 已知圆C x 2 2 y2 3 直线l与圆C相切并且在两坐标轴上的截距相等 求直线l的方程 解答 1 如图 若直线l过原点 设所求直线方程为y kx 即kx y 0 由 解得k 则直线l的方程为x y 0或x y 0 2 若直线l不过原点 设l的方程为 1 即x y a 0 由 解得a 2 则直线l的方程为x y 2 0 或x y 2 0 综上所知所求直线有四条 方程分别为x y 0 x y 0 x y 2 0 x y 2 0 变式2 已知点P x y 是圆x2 y2 1上任意一点 求 1 x 2y的最大值 2 t 的取值范围 解答 1 设与x 2y 0平行的直线的方程为x 2y C 0 由 1 得C 与直线x 2y 0平行且与圆相切的直线方程为x 2y 0 由x 2y 0知x 2y的最大值为 2 设过A 2 2 点的直线方程为y 2 t x 2 即tx y 2 2t 0 则 1 3t2 8t 3 0 解得 1 过圆内一点M的直线一定与圆相交 当这条直线与点M和圆心连线垂直时直线被圆所截得的弦长最短 2 求弦长时可利用弦心距与半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解 例3 已知圆C x2 y2 6x 8y 21 0和直线kx y 4k 3 0 1 证明不论k取何值 直线和圆总有两个不同交点 2 求当k取什么值时 直线被圆截得的弦最短 并求这最短弦的长 解答 1 证明 由kx y 4k 3 0得 x 4 k y 3 0 直线kx y 4k 3过定点P 4 3 由x2 y2 6x 8y 21 0 即 x 3 2 y 4 2 4 又 4 3 2 3 4 2 2 4 直线和圆总有两个不同的交点 2 kPC 1 可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦最短 因此过P点斜率为1的直线即为所求 其方程为y 3 x 4 即x y 1 0 PC AB 变式3 将圆x2 y2 2x 4y 0按向量a 1 2 平移后得到 O 直线l与 O相交于A B两点 若在 O上存在点C 使 求直线l的方程及对应的点C的坐标 解答 解法一 圆x2 y2 2x 4y 0化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 5 按向量a 1 2 平移得 O方程为x2 y2 5 a 且 a kAB 设直线l的方程为y x m 联立 得 将方程 代入 整理得5x2 4mx 4m2 20 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 m y1 y2 m 因为点C在圆上 所以 m 2 m 2 5 解之 得m 此时 式中的 16m2 20 4m2 20 300 0 所求的直线l的方程为2x 4y 5 0 对应的C点的坐标为 1 2 或直线l的方程为2x 4y 5 0 对应的C点的坐标为 1 2 解法二 同解法一 得 O的方程x2 y2 5 1 对于圆的切线问题 当已知圆的圆心在原点 而圆上一点坐标已知时 可利用切线公式求解 而其他情况应利用点到直线的距离公式解决圆的切线以及弦长的计算等问题 应注意解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的联系和区别 2 可利用两点间的距离公式判断两圆的位置关系 两圆的位置关系包括 1 相离 2 外切 3 相交 4 内切 5 内含 方法规律 3 求切线方程一般有下面4种方法 1 设切点用切线公式 2 设有关点利用向量数量积等于零 3 设切线斜率利用判别式 4 设切线斜率利用圆心到切线的距离等于半径 注 一般地 过圆外一点可向圆作两条切线 在后两种方法中应注意斜率不存在的情况 4 过圆外一点 x0 y0 作圆x2 y2 r2的切线 则经过两切点的直线的方程为x0 x y0y r2 2009 全国 本小题满分4分 已知AC BD为圆O x2 y2 4的两条相互垂直的弦 垂足为M 1 则四边形ABCD的面积的最大值为 答题模板 解析 如图 过O点分别作AC BD的垂线 垂足分别为E F 设OE d1 OF d2 则 3 AC 2 BD 2 S四边形ABCD AC BD 由0 3知 当时 S四边形ABCD取