2019-2020学年合肥一中八中、六中高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥一中，八中、六中高一上学期期末联考数学试题一、单选题1设集合，若，则 ( )ABCD【答案】C【解析】 集合， 是方程的解，即 ，故选C2函数的定义域为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得，所以，选C.3已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意可求出，利用二倍角公式求出【详解】解：当的终边在第一象限时，取直线上的点，则，故，同理：当的终边在第三象限时，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的定义、二倍角公式，解题的关键是画出图形，准确使用定义和倍角公式.4九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田三三“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？A12B9C6D3【答案】C【解析】根据扇形面积公式，求出扇形面积.【详解】解：因为弧长为6步，所在圆的直径为4步，所以（平方步）.故选：C.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟记扇形面积公式.5若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据，先求出，利用二倍角公式可以解出结果.【详解】解：故又即由，解得：.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系、倍角公式等知识，解题的关键是灵活运用三角变换中的公式.6已知函数，则（ ）A是奇函数，且在上是增函数B是偶函数，且在上是增函数C是奇函数，且在上是减函数D是偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质.【详解】解：函数的定义域为，因为，所以为奇函数；因为在上为减函数，在上的减函数，所以在上的减函数，综上：函数为奇函数，在上是减函数.故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.7要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答案】B【解析】先将函数转化为，然后根据平移的规则即可得出答案.【详解】解：函数等价于，故只需要将向右平移即可得到.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图象平移的规则，解题的关键是理清函数图象左右平移时，是自变量的平移.8函数的图像大致为 ()ABCD【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 9设函数，则的最小正周期（ ）A与有关，但与无关B与有关，且与有关C与无关，且与无关D与无关，但与有关【答案】A【解析】根据三角恒等变换化简，对b，c分类讨论即可得解.【详解】由于.当时，的最小正周期为；当时，的最小正周期；的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期.故选：A.【点睛】此题考查函数周期的辨析，关键在于弄清参数对函数的影响.10已知函数 ，若 ，则 取值范围是 ABCD【答案】C【解析】当时，所以恒成立，所以；当时，恒成立，则在同一坐标系中由函数与的图象可知，综上，故选C点睛：本题主要考查了分段函数的解析式和不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到分段函数的解析式，二次函数的性质和对数函数的单调性的应用，解答中牢记恒成立问题的求解和函数的基本性质是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.11已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，则（ ）A0BCD【答案】C【解析】函数（）满足，得到是关于点对称，函数经过化简也可以得到关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值.【详解】解：因为函数（）满足，即函数（）满足，所以是关于点对称，函数等价于，所以函数也关于点对称，所以函数与图像的交点为，也关于点对称，故交点，成对出现，且每一对点都关于对称，故.故选：C.【点睛】本题考查了抽象函数对称性的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性（对称性）、单调性、周期性等性质着手研究，然后可根据性质作出大致的草图进行研究.12关于函数有下述四个结论：是偶函数 的最大值为2在有4个零点 在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】A【解析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.【详解】解：的定义域为，因为，故为偶函数，结论正确，当，当，故当时，根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示故函数的最大值为2，结论正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.二、填空题13已知函数，则_.【答案】4【解析】先研究函数的性质，然后利用对称性求解.【详解】解：令函数的定义域为，所以函数为奇函数，故.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.14已知，其中是第三象限角，且，则_.【答案】【解析】先利用诱导公式对函数进行化简，再求解出，进而求解出的值.【详解】解：，由化简得，因为是第三象限角，所以，故，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、同角三角函数的关系等知识点，熟练运用公式是解决本题的关键.15若，则_.【答案】【解析】由于，利用两角和差公式可求出的值.【详解】解：因为，所以，所以，同理可得：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.16设函数（）满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为_.【答案】6【解析】根据题意，解出在上的函数表达式，将零点问题转化为方程问题，结合函数图象进行求解.【详解】解：当时，故；当时，故.函数的零点即为方程的根，故接下来研究方程解的情况.当时，方程即为，化简得，显然是一个根，当时，方程等价于，在内，作出函数与的图象，如图所示，可得有一个交点，故当时，函数有两个零点；当时，方程即为，化简得，在内，作出函数与的图象，如图所示，可得有3个交点，故当时，函数有3个零点；当时，方程即为， 化简得，在内，作出函数与的图象，如图所示，可得有一个交点，故当时，函数有1个零点；综上：函数有6个零点.故答案为：6.【点睛】本题考查了函数的性质与图像、函数零点等知识，考查了转化与化归、数形结合等思想方法，属于函数综合应用问题，难度大.三、解答题17已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用两角和差公式求解；（2）利用二倍角公式、两角和差公式求解.【详解】解：（1）因为，所以，所以，即；（2）， 即.【点睛】本题考查了两角和差公式、二倍角公式、同角三角函数关系等知识，熟练运用公式是解题的关键.18已知函数（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为，【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值（2）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间【详解】解：（1），即则，（2）由（1）知的最小正周期为，令：，得：，所以函数的递增区间为：，【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，周期性的应用，属于中档题19若函数是周期为2的偶函数，当时，.在的图象上有两点、，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间上.（1）求当时的解析式；（2）定点的坐标为，求面积的最大值.【答案】（1）当时，；（2）1【解析】（1）利用函数的奇偶性与周期性，求解在上的解析式；（2）设出、两点的纵坐标，根据题意，构建出的面积函数，运用函数性质求解最值.【详解】解：（1）当时则，故，根据函数为偶函数且周期为2得，所以，即时，；（2）设在上，在上，且、两点的纵坐标为，则，当时，最大，最大值为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性等性质，考查函数解析式的求解，考查二次函数的图象与性质，考查学生的综合应用能力.20如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.（1）设，求三角形木块面积；（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面积最大值为【解析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，所以,，所以；（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析时的情况，所以，令，故，函数在单调递增，所以当时，的面积最大，最大值为.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.21对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.【答案】(1) 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）【解析】（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，则说明是“局部中心函数”，否则说明不是“局部中心函数”；（2）条件是定义域为上的“局部中心函数”可转化为方程有解，再利用整体思路得出结果.【详解】解：（1）由题意，（），所以，当时，解得：，由于，所以，所以为“局部中心函数”.（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，所以方程有解，即在上有解，整理得：，令，故题意转化为在上有解，设函数，当时，在上有解，即，解得：；当时，则需要满足才能使在上有解，解得：，综上：.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，考查了整体换元的思想方法，还考查了学生理解新定义的能力.22已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为：或；（2）或或；（3）.【解析】（1）利用对数函数的单调性，求解对数不等式；（2）将对数方程转化为整式方程，根据解集只有一个元素以及真数要大于0进行分情况讨论求解；（3）先求出最大值与最小值的差，进而转化为恒成立问题进行求解，分离变量构建新函数，求解最值，从而得出结果.【详解】解：（1）当时，即为，故，等价于，解得：或，所以不等式的解集为：或.（2）方程即为，等价于当时，方程有一解，式化简为：，当时，方程的解为，满足条件，故成立；当时，方程的解为，满足条件，故成立；当且时，方程的解为或，若是方程的解，则，即，若是方程的解，则，即，