高中数学 112第2课时充要条件课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 1 理解充要条件的意义 2 会判断证明充要条件 核心扫描 1 判断命题的充要条件 重点 2 证明充要条件和求充要条件 难点 第2课时充要条件 充要条件的概念一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说 p是q的充分必要条件 简称 显然 如果p是q的充要条件 那么q也是p的 即如果p q 那么p与q互为充要条件 想一想 p是q的充要条件与p的充要条件是q有什么区别 提示p是q的充要条件指的是p q是充分性 q p是必要性 p的充要条件是q中 q p是充分性 p q是必要性 自学导引 充要 充要条件 如何理解充要条件p是q的充要条件意味着 p成立 则q必成立 p不成立 则q必不成立 简记为 有之必有果 无之则无果 拓展 命题成立的四种条件 若p q qp 则p是q的充分不必要条件 若pq q p 则p是q的必要不充分条件 若pq qp 则p是q的既不充分 也不必要条件 若p q q p 则p是q的充要条件 名师点睛 题型一充分条件 必要条件 充要条件的判断 指出下列各题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 中选出一种作答 1 在 abc中 p a b q bc ac 2 对于实数x y p x y 6 q x 2或y 4 3 在 abc中 p sina sinb q tana tanb 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 例1 思路探索 要判断p是q的什么条件 只需判断两个命题 若p 则q 若q 则p 的真假即可 解 1 在 abc中 显然有a b bc ac 所以p是q的充要条件 2 因为 x 2且y 4 x y 6 即綈q 綈p 但綈p綈q 所以p是q的充分不必要条件 3 取a 120 b 30 pq 又取a 30 b 120 qp 所以p是q的既不充分也不必要条件 4 因为p a 1 2 q b x y x 1或y 2 p q 但q p p是q的充分不必要条件 规律方法判断充分条件 必要条件 充要条件问题时常用的方法 1 定义法 直接判断p q和q p是否成立 然后得出结论 2 等价法 利用命题的等价形式 p q q p q p p q p q 与p q的等价关系 对于条件和结论是否定形式的命题 一般运用等价法 3 集合法 设条件p对应集合a 条件q对应集合b 则若a b 则p是q的充分不必要条件 若a b 则p是q的充分条件 若a b 则p是q的充要条件 4 传递法 由推式的传递性 p1 p2 p3 pn 则p1 pn 变式1 下列命题 若a是b的必要不充分条件 则b是a的充分不必要条件 已知a b r 则 a b a b 的充要条件是ab 0 x 1 是 x2 1 的充分不必要条件 在 abc中 a b 是 sina sinb 的充要条件 其中正确的是 填序号 解析 中充要条件是ab 0 中等价命题是 x2 1 是 x 1 的充分不必要条件是错误的 应为必要不充分条件 中a b a b sina sinb 所以 是真命题 答案 已知 o的半径为r 圆心o到直线l的距离为d 求证 d r是直线l与 o相切的充要条件 思路探索 设p d r q 直线l与 o相切 要证p是q的充要条件 只需分别证明充分性 p q 和必要性 q p 即可 解如图所示 作op l于点p 则op d 1 充分性 p q 若d r 则点p在 o上 在直线l上任取一点q 异于点p 连接oq 在rt opq中 oq op r 所以 除点p外直线l上的点都在 o的外部 即直线l与 o仅有一个公共点p 所以直线l与 o相切 题型二充要条件的证明 例2 2 必要性 q p 若直线l与 o相切 不妨设切点为p 则op l 因此 d op r 规律方法 1 证明充要条件 一般是从充分性和必要性两方面进行 此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么 2 要分清命题中的条件和结论 防止充分性和必要性弄颠倒 由条件 结论是证充分性 由结论 条件是证必要性 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 证明先证必要性 方程ax2 bx c 0有一个根为1 x 1满足方程ax2 bx c 0 a 12 b 1 c 0 即a b c 0 必要性成立 再证充分性 a b c 0 c a b 代入方程ax2 bx c 0中 可得ax2 bx a b 0 即 x 1 ax a b 0 故方程ax2 bx c 0有一个根为1 充分性成立 因此 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 变式2 已知方程x2 2k 1 x k2 0 求使方程有两个大于1的根的充要条件 思路探索 求充要条件就是求它的等价命题 题型三求充分条件 例3 规律方法求充要条件常用下列两种方法 1 先由结论寻找使之成立的必要条件 再验证它也是使结论成立的充分条件 既保证充分性和必要性都成立 2 变换结论为等价命题 使每一步都可逆 直接得到使命题成立的充要条件 求不等式ax2 2x 1 0恒成立的充要条件 变式3 14分 已知条件p a x x2 a 1 x a 0 条件q b x x2 3x 2 0 1 若a 3 则p是q的什么条件 2 若p是q的充分不必要的条件 求实数a的取值范围 审题指导本题综合考查了充分性 必要性的概念与判定 以及一元二次不等式的求解 规范解答 1 a 3时 a x x2 4x 3 0 x 1 x 3 b x x2 3x 2 0 x 1 x 2 4分因为b a 所以p是q必要不充分的条件 7分 题型四充要条件的应用 例4 2 b x 1 x 2 a x x2 a 1 x a 0 x x 1 x a 0 10分因为p是q充分不必要的条件 所以a b 12分所以1 a 2 14分 题后反思 若条件p q构成的集合分别为a b 则a b p是q的充分条件 b a p是q的必要条件 a b p是q的充要条件 解法一由p x 2 x 10 得p a x x10 q b x x1 m m 0 因为p是q的必要不充分条件 所以q p pq 所以b a 画数轴分析知 b a满足的条件是解得m 9 即m的取值范围是 m m 9 变式4 法二因为p是q的必要不充分条件 所以p是q的充分不必要条件 而p p x 2 x 10 q q x 1 m x 1 m m 0 对于给出一些命题之间的关系 判定两个命题之间的充分性 必要性的问题 可构造如右图所示的推式链图 表示已知甲是乙的必要条件 丙是乙的充分不必要条件 由图易得丙是甲的充分不必要条件 已知p q都是r的必要条件 s是r的充分条件 q是s的充分条件 那么 1 s是q的什么条件 2 r是q的什么条件 3 p是q的什么条件 方法技巧构造推式链图判定充分性 必要性 示例 思路分析 可将已知r p q s的关系用图表示 然后利用图示解答问题 解由图可知 1 因为q s s r q 所以s是q的充要条件 2 因为r q q s r 所以r