高中数学1.2.1《任意角的三角函数1》课件新人教B必修4

1 2 1三角函数的定义 一 1 初中学过的锐角三角函数的定义 在直角三角形ABC中 角C是直角 角A为锐角 则用角A的对边BC 邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数 2 用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数 以坐标原点为角 的顶点 以OX轴的正方向为角 的始边 则角 的终边落在直角坐标系的第一象限内 若点P x y 是角 终边上的任意一点 点P到原点O的距离是r 试将角 的三角函数用x y r的式子表示出来 sin cos tan 3 任意角的三角函数 1 确立任意角 在直角坐标系中的位置 以坐标原点为角 的顶点 以OX轴的正方向为角 的始边 2 在其终边上取点A 使OA 1 点A的坐标为 l m 再任取一点P x y 设点P到原点的距离为r OP r r 0 根据三角形的相似知识得 因为A P在同一象限内 所以它们的坐标符号相同 因此得 不论点P在终边上的位置如何 它们都是定值 它们只依赖于 的大小 与点P在 终边上的位置无关 即当点P在 的终边上的位置变化时 这三个比值始终等于定值 叫做角 的余弦 记作cos 即cos 叫做角 的正弦 记作sin 即sin 叫做角 的正切 记作tan 即tan 依照上述定义 对于每一个确定的角 都分别有唯一确定的余弦值 正弦值与之对应 当 2k k Z 时 它有唯一的正切值与之对应 因此这三个对应法则都是以 为自变量的函数 分别叫做角 的余弦函数 正弦函数和正切函数 3 角 的其他三种函数 角 的正割 角 的余割 角 的余切 4 几点说明 1 这里提到的角 是 任意角 当 2k k Z 时 与 的同名三角函数值应该是相等的 即凡是终边相同的角的三角函数值都相等 2 定义中只说怎样的比值叫做 的什么函数 并没有说 的终边在什么位置 终边在坐标轴上除外 即函数的定义与 的终边位置无关 实际上 如果终边在坐标轴上 上述定义同样适用 3 三角函数是以 比值 为函数值的函数 4 对于正弦函数sin 因为r 0 所以恒有意义 即 取任意实数 恒有意义 也就是说sin 恒有意义 所以正弦函数的定义域是R 类似地可写出余弦函数的定义域是R 对于正切函数tan 因为x 0时 无意义 又当且仅当 的终边落在y轴上时 才有x 0 所以当 的终边落不在y轴上时 恒有意义 即tan 恒有意义 所以正切函数的定义域是 k k Z 从而三角函数的定义域是y sin Ry cos R y tan k k Z 例1 已知角 的终边过点P 2 3 求 的六个三角函数值 解 因为x 2 y 3 所以 sin cos tan cot sec csc 解 1 因为当 0时 x r y 0 所以 例2 求下列各角六个三角函数值 1 0 2 3 sin0 0 cos0 1 tan0 0 csc0不存在 sec0 1 cot0不存在 2 解 2 因为当 时 x r y 0 所以 sin 0 cos 1 tan 0 Csc 不存在 sec 1 cot 不存在 3 解 3 因为当 时 x 0 y r 所以 sin 1 cos 0 tan不存在 csc 1 sec不存在 cot 0 例3 角 的终边过点P b 4 且cos 则b的值是 解 r cos 解得b 3 A 3 B 3 C 3 D 5 A 例4 在直角坐标系中 终边过点 1 的所有角的集合是 解 点 1 在第一象限 且x 1 y 所以r 2 sin cos 所以满足条件的角 2k 2k k Z 例5