向量综合应用

向量的综合应用一、相关知识要点1、数量积的定义：其中， 是与的夹角，范围是2、，向量垂直的充要条件：向量a与非零向量b共线的充要条件：3、向量的模：二、主要应用途径平面向量是高中数学近几年新增的内容，以向量为背景，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵，积极探索向量在数学中各方面的应用，不仅可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构；而且有利于拓展想象力，激发创新活力。显现出向量作为一个工具在数学中的重要性由于向量集数、形于一体，也就是它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理，它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点。主要包括以下几个方面：1、向量知识与三角知识的整合2、向量知识与几何知识的整合3、向量知识与函数知识的整合三、典型例题分析1、向量知识与三角知识的整合例1设函数f(x)= , 其中向量=(2cosx,1)，=(cosx,sin2x)，xR.若将函数f(x)按向量=(m，n) (|m|)平移后得到函数y= 2sin2x的图象，求分析：先通过向量的数量积建立函数关系式，再利用向量平移公式建立方程，求出m、n解：依题设得：f(x)= = 2cos2x+sin2x=2sin(2x+) + 1，将函数f(x)的图象按向量=(m，n)平移后得到函数。y=2sin2 (x-m) +1 +n 的图象，即是函数 y=2sin2x 的图象.（由向量的关系转化为三角函数）yxoL |m|0)的焦点为 F，经过点F 的直线交抛物线于A、B 两点，若点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：A、O、C三点共线xyoBCA分析：要证明三点共线可从哪些方面考虑？（1）证斜率相等（2）利用定比分点公式（3）证点C在直线AO上（4）利用向量法如何用向量法证明两向量共线?xyoBCAFR变式练习： （1）若已知A、O、C三点共线,求证：BCx轴（2）在例3前提下若OMAB，垂足为M，求点M的轨迹方 程，并说明它表示什么曲线。命题有垂直的条件可用向量建立关系OMAB 答案：M的轨迹方程是变式(3)：若,求点R的轨迹方程（3）解：设R(x,y)，由得(x,y)= 即：2px=y2-y1y2又与共线,代入上式即得：小结：用向量法处理解几中的平行、垂直、共线、轨迹等问题时，目标是将几何问题坐标化、数量化。3、向量知识与函数知识的整合例4、已知=,=,且存在实数k和t,使得,且.试求的最小值。解：由题意有， 即t=2时，最小值为说明：用向量关系转化为二次函数的最值问题练习：已知，函数f(x)=的图象在y轴上的截距为1，在x=2处切线的方向向量为：，并且函数当x=1时取得极值。求f(x)的解析式并求f(x)的单调区间答案：f(x)2x4-4x2+1f(x)的单调增区间为思考：若K= f(t),讨论函数f(t)的单调性与极值由上例可知， K= f(t) ，tR，令f(x)0得，当t (，1)时， f(t)0即f(x)单调递增当t (1，1)时，f(t) 0 即f(x)单调递减当t (1， )时，f(t)0 即f(x)单调递增当t 1时K= f(t)有极大值，当t1时K= f(t)有极小值4、向量知识与其它知识的整合从原点出发的某质点M，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为.设M 到达(0,n)点的概率为Pn，求Pn 分析:M到达点 (0,n)有两种情形：(1) 从点按向量移动到点，此时概率为；(2) 从点按向量移动到点，此时概率为. (0,n-1 )(0,n-2 )(0,n)两种情形是互斥的，故有 两种情形是互斥的，故有 ，即.又易得，是以为首项，为公比的等比数列.于是，以下略（由同学们课后完成） 本题是用向量“包装”的概率题，又与数列结合，使呆板、 平淡的数学题充满活力和无穷魅力！ 小结1本节课主要复习了平面向量与函数、三角、解 几的整合与应用。2利用平面向量相关的知识来解决一些相关 问题.一是以向量为工具，二是用向量的关系来转化.3、向量除了在函数、三角