高中数学 第2章2.4.1空间直角坐标系课件 新人教B必修

2 4空间直角坐标系2 4 1空间直角坐标系 1 了解空间直角坐标系的建立与平面直角坐标系的区别 能写出空间中点的坐标 2 了解坐标平面的概念 会求空间中对称点的坐标 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 2 4 1 课前自主学案 1 初中学习过数轴 直线坐标系 规定了原点 正方向和度量单位的直线 数轴上的点可用这个点对应的实数x来表示 记作P x 2 前面学习了平面直角坐标系 以一点O为原点 过O作互相垂直的数轴Ox Oy xOy为平面直角坐标系 平面内的点用它对应的有序实数对 x y 表示 记作P x y 1 空间直角坐标系为了确定空间点的位置 我们在空间中取一点O作原点 过O点作三条两两垂直的数轴 通常用x y z表示轴的方向 通常这样选择 从z轴的正方向看 x轴的正半轴沿逆时针方向转 能与y轴的正半轴重合 这时我们在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz 在这个过程中 三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础 90 让右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向 如果中指指向z轴的正方向 那么称这个坐标系为右手直角坐标系 一般情况下 建立的坐标系都是右手直角坐标系 在空间任意一点M与三个有序的实数组 点的坐标 之间 建立起 的关系 M x y z 其中x叫做点M的 也叫点M的x坐标 y叫做点M的 也叫点M的y坐标 z叫做点M的 也叫点M的z坐标 一一对应 横坐标 纵坐标 竖坐标 思考感悟在给定的空间直角坐标系中 空间中任意一点与有序实数组 x y z 之间是否存在唯一的对应关系 提示 是 2 坐标与坐标平面 1 过点P作一个平面平行于 垂直于x轴 这个平面与x轴的交点记为Px 它在x轴上的坐标为x 这个数x叫做点P的x坐标 2 过点P作一个平面平行于 垂直于y轴 这个平面与y轴的交点记为Py 它在y轴上的坐标为y 这个数y叫做点P的y坐标 3 过点P作一个平面平行于 垂直于z轴 这个平面与z轴的交点记为Pz 它在z轴上的坐标为z 这个数z叫做点P的z坐标 平面yOz 平面xOz 平面xOy 4 每两条坐标轴分别确定的平面yOz xOz xOy叫做 5 xOy平面 通过x轴和y轴的平面 是坐标形如 的点构成的点集 其中x y为任意实数 6 yOz平面 通过y轴和z轴的平面 是坐标形如 的点构成的点集 其中y z为任意实数 7 xOz平面 通过x轴和z轴平面 是坐标形如 所构成的点集 其中x z为任意实数 8 x轴是坐标形如 的点构成的点集 其中x为任意实数 坐标平面 x y 0 0 y z x 0 z x 0 0 9 y轴是坐标形如 的点构成的点集 其中y为任意实数 10 z轴是坐标形如 的点构成的点集 其中z为任意实数 11 三个坐标平面把空间分为 部分 每一部分称为一个 在坐标平面xOy上方 分别对应该坐标平面上四个象限的卦限 称为第 第 第 第 卦限 在下方的卦限称为第 第 第 第 卦限 0 y 0 0 0 z 八 卦限 课堂互动讲练 过该点作它在各坐标轴上的投影 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为4 E是A1C1的中点 F是BB1上的点 且 BF 3 FB1 建立如图所示的空间直角坐标系 求E F的坐标 分析 要确定一点的坐标 可先确定此点在xOy平面上投影点的坐标 即由此点向xOy平面作投影 由投影向x轴 y轴引平行线得交点坐标 再确定该点在z轴上的坐标即可 解 E点在xOy平面上的投影为AC的中点H 2 2 0 又 EH 4 E点的z坐标为4 因此点E的坐标为 2 2 4 F点在xOy平面上的投影为B 4 4 0 BB1 4 BF 3 FB1 BF 3 即点F的z坐标为3 所以点F的坐标为 4 4 3 点评 求空间一点M的坐标 常用方法是 过M做MM1垂直于xOy平面 垂足为M1 求出M1的x坐标和y坐标 再求出点M的z坐标 于是得到M点的坐标 x y z 注意z坐标的正负 跟踪训练1设有长方体ABCD A B C D 如图所示 长 宽 高分别为 AB 4cm AD 3cm AA 5cm N是线段CC 的中点 分别以AB AD AA 所在的直线为x轴 y轴 z轴 以1cm为单位长 建立空间直角坐标系 1 求点A B C D A B C D 的坐标 2 求点N的坐标 解 1 A B C D都在平面xOy内 z坐标都为0 它们在x轴 y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是 0 0 4 0 4 3 0 3 因此空间坐标分别是A 0 0 0 B 4 0 0 C 4 3 0 D 0 3 0 A B C D 同在一个垂直于z轴的平面内 这个平面与z轴的交点A 在z轴上的代表数是5 故这四个点的z坐标都是5 从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A B C D四点 故A B C D 的x y坐标分别与A B C D相同 由此可知它们的空间坐标分别是A 0 0 5 B 4 0 5 C 4 3 5 D 0 3 5 2 N是线段CC 的中点 有向线段CN的方向是与z轴正方向相同 CN 2 5 因此N的z坐标为2 5 C在xOy平面内的平面坐标为 4 3 这就是N的x y坐标 故N的空间坐标为 4 3 2 5 1 关于哪个平面的对称点 点在哪个平面上的坐标不变 另外的坐标变成原来的相反数 2 关于哪条坐标轴对称 哪个坐标不变 另两个变为原来的相反数 3 关于原点对称的坐标 三个坐标分别互为相反数 如图所示 长方体ABCD A1B1C1D1的对称中心为坐标原点O 交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 顶点A 2 3 1 求其他7个顶点的坐标 分析 根据长方体的对称性求解 解 长方体的对称中心为坐标原点O 因为顶点A 2 3 1 所以A关于原点的对称点C1的坐标为 2 3 1 又因为C与C1关于坐标平面xOy对称 所以C 2 3 1 而A1与C关于原点对称 所以A1 2 3 1 又因为C与D关于坐标平面yOz对称 所以D 2 3 1 因为B与C关于坐标平面xOz对称 所以B 2 3 1 B1与B关于坐标平面xOy对称 所以B1 2 3 1 同理D1 2 3 1 综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为 C1 2 3 1 C 2 3 1 A1 2 3 1 B 2 3 1 B1 2 3 1 D 2 3 1 D1 2 3 1 点评 这类题要利用空间点的对称性来解 对空间点的对称性记忆如下 关于谁对称 谁不变 其余的相反 如关于x轴对称 横坐标不变 其余坐标变成相反数 关于平面xOy对称 横坐标x与纵坐标y不变 竖坐标z变成相反数 跟踪训练2已知点P 2 5 8 分别写出点P关于原点 x轴 y轴 z轴和xOz平面的对称点 解 点P 2 5 8 关于