严州中学数学第一轮复习统计综合复习 人教

统计 综合复习 严州中学数学组 知识梳理 1 抽样方法 在初中 我们学习过一些统计知识 了解统计的基本思想方法是用样本估计总体 即通常不是直接去研究总体 而是通过从总体中抽取一个样本 根据样本的情况去估计总体的相应情况 例如 我们通常用样本平均数去估计总体平均数 这样 样本的抽取是否得当 对于研究总体来说十分关键 抽样分为不放回抽样和放回抽样两种情况 当我们逐个地从总体中抽取个体时 如果每次抽取的个体不再放回总体 这种抽样叫做不放回抽样 如果每次抽取一个个体后 先将它放回总体 然后再抽取下一个个体 这种抽样叫做放回抽样 很明显 在整个放回抽样过程中 总体里所含个体的情况始终未变 一般地 设一个总体含有有限个个体 并记其个体数为N 如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本 且每次抽取时各个个体被抽到的概率都相等 就称这样的抽样为简单随机抽样 不难证明 如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本 那么每个个体被抽到的概率都等于 请同学们自己证明 2 如何实施简单随机抽样呢 1 抽签法 先将总体中的所有个体 共有N个 编号 号码可以从1到N 并把号码写在形状 大小相同的号签上 号签可以用小球 卡片 纸条等制作 然后将这些号签放在同一个箱子里 进行均匀搅拌 抽签时 每次从中抽出1个号签 连续抽取n次 就得到一个容量为n的样本 对个体编号时 也可以利用已有的编号 例如从全班学生中抽取样本时 可以利用学生的学号 座位号等 2 随机数表法 该章后面的附表1是一个随机数表 表中共随机出现0 1 2 9这十个数字 确切地说 在表中每个位置上出现各个数字的概率都是相等的 因此在制作一个随机数表时 必须保证表中每个位置上的数字是等概率出现的 3 系统抽样 当总体中的个体数较多时 采用简单随机抽样显得较为费事 这时 可将总体分成均衡的几个部分 然后按照预先定出的规则 从每一部分抽取1个个体 得到所需要的样本 这种抽样叫做系统抽样 例如 为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩 打算从中抽取一个容量为50的样本 假定这1000名学生的编号是1 2 1000 由于50 1000 1 20 我们将总体均分成50个部分 其中每一部分包括20个个体 例如第1部分的个体的编号是1 2 20 然后在第1部分随机抽取一个号码 比如它是第18号 那么可以从第18号起 每隔20个抽取一个号码 这样得到一个容量为50的样本18 38 58 978 998 4 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时 为了使样本更充分地反映总体的情况 常将总体分成几部分 然后按照各部分所占的比例进行抽样 这种抽样叫做分层抽样 其中所分成的各部分叫做层 例如 一个单位的职工有500人 其中不到35岁的有125人 35岁 49岁的有280人 50岁以上的有95人 为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标 要从中抽出一个容量为100的样本 由于职工年龄与这项指标有关 决定采用分层抽样的方法进行抽取 因为样本容量与总体的个体数的比为100 500 1 5 所以在各年龄段抽取的个体数依次是 即25 56 19 在各年龄段分别抽取时 可采用前面介绍的简单随机抽样或系统抽样的方法 将各年龄段抽取的个体合在一起 就是所要抽取的样本 不难看出 由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比 分层抽样时 每一个个体被抽到的概率都是相等的 5 三种抽样方法的比较 上面我们在实施抽样时 为解决问题方便起见 一般假定总体含有的个体数是有限的 这种总体称为有限总体 但实际上我们在生活中遇到的很多总体所包含的个体数是无限的 这种总体称为无限总体 例如 生产一个规定尺寸为m的零件 由于在生产过程中受到很多随机因素的影响 实际尺寸会在m的附近波动 这样由所有不同的零件尺寸组成的总体会在一个连续区间上取值 因此这个总体就是一个无限总体 6 总体分布的估计 从规定尺寸为25 4mm的一堆产品中任取100件 测得它们的实际尺寸可借助直方图进行研究 也可借助频率分布图进行研究 详见书本 设想样本容量无限增大 分组的组距无限缩小 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 总体密度曲线 曲线部分以下 x轴以上的面积就是总体在上述范围内取值的概率 7 正态分布 前面所说的产品尺寸是一类典型的总体 对于成批生产的产品 如果生产条件正常并稳定 即工艺 设备 技术 操作 原料 环境等条件都相对稳定 而且不存在产生系统误差的明显因素 那么产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象 上式中的 0 为参数 分别表示总体的平均数与标准差 这个总体是有无限容量的抽象总体 其分布叫做正态分布 正态分布由参数 唯一确定 因此正态分布常记作N 2 的图象被称为正态曲线 下图画出了三条正态曲线 在函数 中 当 0 1时 正态总体称为标准正态总体 这时相应的函数表示式是 相应的曲线称为标准正态曲线 如上图 2 所示 由于标准正态分布N 0 1 在正态总体的研究中占有非常重要的地位 已专门制作了 标准正态分布表 见附表2 在这个表中 相应于x0的值 x0 是指总体取值小于x0的概率 即 x0 P x x0 如下图所示 例如 它在区间 1 2 内取值的概率为 p 2 1 2 1 1 2 1 1 0 9772 0 8413 1 0 8185 一般的正态总体N 2 均可化成标准正态总体N 0 1 来进行研究 事实上 可以证明 对任一正态总体N 2 来说 取值小于x的概率 例如 对于正态总体N 1 4 来说 取值小于3的概率 例1 某工厂有1003工人 从中抽取10人参加体检 试采用简单随机抽样和系统抽样进行具体实施 解析 一 简单随机抽样 1 将每一个人编一个号由0001至1003 2 制作大小相同的号签并写上号码 3 放入一个大容器 均匀搅拌 4 依次抽取10个号签 二 系统抽样 1 将每一个人编一个号由0001至1003 2 利用随机数表法找到3个号将这3个人排除 3 重新编号0001至1000 4 分段 所以0001至0100为第一段 5 在第一段内由简单随机抽样法抽得一个号l 6 按编号将l 100 l 200 l 900 l共10个号选出 例2 要从某学校的10000个学生中抽取100人进行健康体检 采用何种抽样方法较好 并写出过程 解析 由于总体个数为10000 数字较大 因而应采用系统抽样法 具体过程如下 1 采用随机的方法将总体中的个体编号1 2 10000 2 把整个的总体分成 3 在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号l 4 按编号将l 100 l 200 l 9900 l共100个号选出 例3 某工厂中共有职工3000人 其中中 青 老年职工的比例为5 3 2 从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本 应采用哪种抽样方法较合理 且中 青 老年职工应分别抽取多少人 解析 因为总体由三类差异明显的个体构成 所以应采用分层抽样的 方法进行抽取 由样本容量为400 中 青 老年职工所占 比例为5 3 2 所以应抽取中年职工人 应抽取青年职工人 应抽取老年职工人 点评 分层抽样在日常生活中应用较广 其抽取样本的步骤尤为重要 应牢记按照相应的比例去抽取 例4 1 工厂生产的某种产品用传送带将产品送入包装车间 检验人员从传送带从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验 问这是一种什么抽样法 2 已知甲 乙 丙三个车间一天内生产的产品分别是150件 130件 120件 为了掌握各车间产品质量情况 从中取出一个容量为40的样本 该用什么抽样法 简述抽样过程 解析 1 这是将总体分成均衡的若干部分 再从每部分按预先订出 的规则中抽取一个个体 得到所需要的样本 故它是系统抽样法 2 因总体来自三个不同车间 故适宜用分层抽样法 因甲 乙 丙三个车间一天内生产产品数量之比为15 13 12 所以需从甲 乙 丙三个车间抽取产品分别为15件 13件 12件 具体抽样过程为 将甲车间150件的产品按000 001 149编号 将乙车间130件的产品按000 001 129编号 将丙车间120件的产品按000 001 119编号 用随机数表分别抽取15件 13件 12件 这样就取得了一个容量为40的样本 例5 分别求正态总体N 2 在区间 2 2 和 3 3 内取值的概率 解析 所以正态总体N 2 在区间 内取值的概率 F F 1 1 1 1 1 2 1 1 20 8413 1 0 683 同理 正态总体N 2 在区间 2 2 内取值的概率F 2 F 2 2 2 1 0 954 正态总体N 2 在区间 3 3 内取值的概率F 3 F 3 2 3 1 0 997 解析 N 3 1 P 1 1 F 1 F 1 1 2 1