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文档简介

柯西 Cauchy 法国人 生于1789年 是十九世纪前半叶最杰出的数学家 不等式的证明 不等式的证明 一 比较法 1 差比法 要证a b 只须证a b 0 2 商比法 要证a b b 0 只须证a b 1 步骤 作差变形判断差式的正负作商变形判断商式与1的大小 注意 差比法变形主要是分解多个因式的积 商 或多个式子的平方和 必须分解彻底 商比法变形主要是通过适当放大或适当缩小从而利用不等式的传递性判断与1的大小 处理绝对值 由定义讨论去掉绝对值符号 利用平方去掉绝对值符号 绝对值小于1的数的集合为S 在S中定义一种运算 使得 求证 如a b 则a b 0 二 综合法 利用某些已经证明过的不等式作为基础 再运用不等式的性质推导出所要求的不等式 这种证明方法叫做综合法 即 由因导果 以下a b c均为正数 证下列不等式 三 分析法 从证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明这个不等式的问题转化这些条件具备的问题 如果能肯定这些条件都具备 那么就可以判定所证的不等式成立 这种证明方法叫做分析法 即 执果索因 若a b c是不全相等得正数 求证 lg lg lg lga lgb lgc 已知a b 0 求证 证明 f a f b a b 四 换元法 通过换元减少变量从而繁化简 如 三角代换 设实数x y m n满足x2 y2 3 m2 n2 1 求mx ny的最大值 五 判别式法 它是利用二次方程是否有解条件的知识 六 放缩法 就是利用不等式的传递性把其一边适当增大或缩小七 利用单调性法 构造一个单调函数 而不等式的两端恰好是这个函数的两个函数值 构造函数的思想 证明 若a b c d R lg9 lg11 1 f x x2 x m x m 1 证 f x f m 2 m 1 证明不等式 设a b c R 证明 a2 ac c2 3b a b c 0 并指出等号何时成立 八 反证法 转化为证原命题的逆否命题是否成立 步骤 1 假设结论不成立 2 利用它推出与已知 公理矛盾 3 产生矛盾是因为假设 故假设不成立 从而原命题成立 设a b c 0 1 求证 1 a b 1
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