数学分析之不定积分.doc

数学分析教案第八章 不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时 ） 教学要求： 积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。教学重点：深刻理解不定积分的概念。一、新课引入： 微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1 填空: ; ( ; ; ; ;. 定义. 注意 是 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数: Th 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是 在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . ( 证 )可见，若 有原函数 ，则 的全体原函数所成集合为 .原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 在区间 上有原函数, 则 在区间 上有介值性.例2. 已知 为 的一个原函数, =5 . 求 . 2.不定积分 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例3 ; . （二）不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数. .(先积分后求导, 形式不变应记牢！). . (先求导后积分, 多个常数需当心！) 时， （被积函数乘系数，积分运算往外挪！） 由、可见, 不定积分是线性运算, 即对 , 有 ( 当 时,上式右端应理解为任意常数. )例4 . 求 . ( =2 ). （三）. 不定积分基本公式: 基本积分表. 1P180 公式114. 例5 . （四）利用初等化简计算不定积分: 例6 . 求 .例7 .例8 .例9 .例10 ; 例11 .例12 .三、小结 2 换元积分法与分部积分法 （1 0 学时 ） 教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入 二、讲授新课： （一）. 第一类换元法 凑微分法： 由 引出凑微公式.Th1 若 连续可导, 则 该定理即为：若函数 能分解为 就有 . 例1 . 例2 . 例3 常见微分凑法： 凑法1 例4 例5 例6 例7 由例47可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例8 . . 凑法2 . 特别地, 有 . 和 . 例9 . 例10 例11 . 例12 = .凑法3 例13 例14 例15 . 例16 凑法4 . 例17 凑法5 例18 凑法6 . 例19 .其他凑法举例: 例20 .例21 例22 .例23 . 例24 . 例25 例26 .三、小结 （二）第二类换元法 拆微法：从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即 = = = 引出拆微原理.Th2 设 是单调的可微函数,并且 又 具有原函数. 则有换元公式 (证)常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1. 三角代换: 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 , 则 例27 解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例28 . 例29 . 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 即 令 . 此时有 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例30 . 解 令 有 . 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有 = = 例31 正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令 有变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例32 解 .例33 .解法一 （ 用割换 ） 解法二 （ 凑微 ） 2.无理代换:若被积函数是 的有理式时, 设 为 的最小公倍数,作代换 , 有 .可化被积函数为 的有理函数.例34 .例35 .若被积函数中只有一种根式 或 可试作代换 或. 从中解出 来.例36 . 例37 例38 (给出两种解法)例39 . 本题还可用割换计算, 但较繁. 3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: 例40 .本题可用切换计算,但归结为积分 , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例41 解 .例42 .解 4.倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换 例43 .5.万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参1P261). 令 ， 就有 ， ， 例44 .解法一 ( 用万能代换 ) .解法二 ( 用初等化简 ) .解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) 例45 解 = .代换法是一种很灵活的方法.三、小结 （三）. 分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂 ” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“ ”求导以使其成为代数函数.例46 (幂对搭配，取对为u) 例47 (幂三搭配，取幂为u) 例48 (幂指搭配，取幂为u) 例49 (幂指搭配，取幂为u) 例50 例51 (幂反搭配，取反为u) 例52 2建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例53 例54 求 和 解 解得 例55 解 = = （参阅例41）解得 例56 = ，解得 .例57 = = ,解得 .三、小结 3 有理函数和可化为有理函数的积分( 2学时 ) 教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。一、新课引入：由积分应用的广泛性引入 二、讲授新课： （一）有理函数的积分: 1. 代数知识: 1P190例1 1P190， 2. 部分分式的积分: 1P192 例2 1P192 例3 2P260 E3. （二）. 三角函数有理式的积分: 1P194 万能代换. 例45 1P195 （三）某些无理函数的积分: 1P195198 （四）一些不能用初等函数有限表达的积分: 等. 习 题 课 ( 2学时 ) 一. 积分举例 : 例1 . 例2 . 例3 例4 已知 求 例5 求 例6 设 且具有连续导函数. 计算积分 例7 , 求积分 二.含有二次三项式的积分:例8 =.例9 = = . 第九章 定积分 教学要求： 1知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时 1 定积分概念 （2学时） 教学要求： 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 二、不积分的定义: 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间 作为分法 , . 取 .= .由函数在区间 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有 .上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 .例3 讨论Dirichlet函数 在区间 上的可积性 .四、小结：指出本讲要点 2 Newton Leibniz 公式（2学时） 教学要求： 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （ N L公式 ）( 证 )例1求 ; ; 例2 求 . 3可积条件（4学时） 教学要求： 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件: Th 9.2 ， 在区间 上有界.二、充要条件: 1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 .方案: 定义上和 和下和 . 研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. Darboux和: 以下总设函数 在区间 上有界. 并设 ,其中 和 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法 唯一确定.分别用 、 和 记相应于分法 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 , 因此有 . 和 的几何意义 . 3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法: 表示 是 的加细 .性质1 若 , 则 , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何 , 有 , . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 )性质3 对任何 和 , 总有 . 即: 小和不会超过大和 .证 . 性质4 设 是 添加 个新分点的加细. 则有 + , .证 设 是只在 中第 个区间 内加上一个新分点 所成的分法, 分别设 , , . 显然有 和 . 于是 .添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次. 即证得第二式. 可类证第一式.系 设分法 有 个分点，则对任何分法 ，有， .证 . . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 上有界. 由以上性质2 ，有上界 ， 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义 记 , . 分别称 和 为函数 在区间 上的上积分和下积分.对区间 上的有界函数 , 和 存在且有限 , . 并且对任何分法 , 有 . 上、下积分的几何意义. 例1 求 和 . 其中 是Dirichlet函数 . 5. Darboux定理 : Th 1 设函数 在区间 上有界, 是区间 的分法 .则有 = , = . 证 ( 只证第一式 . 要证 : 对 使当 时有. 是显然的. 因此只证 . ) , 对 , 使 设 有 个分点, 对任何分法 , 由性质4的系, 有 ,由* 式, 得 即 亦即 . 于是取 , ( 可设 , 否则 为常值函数, = 对任何分法 成立. ) 对任何分法 , 只要 , 就有 .此即 = . 6. 可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件1 ）设函数 在区间 上有界. = .证 设 = , 则有 = . 即对 使当 时有 | | 对 成立.在每个 上取 , 使 , 于是, | | = . 因此, 时有| | | | + | | + = .此即 = . 由Darboux定理 , = .同理可证 = . = . 对任何分法 , 有 , 而 = = = . 令 和 的共值为 , 由双逼原理 = . Th 9.3 有界.对 .证 ( ) = 0. 即对 时, . , 由 , , = . 定义 称 为函数 在区间 上的振幅或幅度.易见有 0 . 可证 = Th 9.3 (充要条件2 ) 有界. 对 .Th 3 的几何意义及应用Th 3的一般方法: 为应用Th 3, 通常用下法构造分法 : 当函数 在区间 上含某些点的小区间上 作不到任意小时, 可试用 在区间 上的振幅 作 的估计 , 有 . 此时, 倘能用总长小于, 否则 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个小区间上有 , 对如此构造的分法 , 有 0.例4 证明不等式 .证明分析 所证不等式为 只要证明在 上成立不等式 , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 . 5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时） 教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一. 变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出 . 1.变限积分: 定义上限函数 ，（以及函数 ） 其中函数 . 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.Th 9 ( 面积函数的连续性 )思路：表达面积函数 . 2.微积分学基本定理： Th 10 微积分学基本定理 （原函数存在定理）若函数 则面积函数 在 上可导，且 = . 即当 时, 面积函数 可导且在点 的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是 的一个原函数 . 证 系 连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理 Th11 （积分第二中值定理）设函数 在 上可积， （i）若函数 在 上减，且 ，则存在 ，使得 （ii）若函数在 上增，且 ，则存在 ，使得 推论 函数 在上可积，若 为单调函数，则存在 ，使得 二换元积分法与分部积分法： 1.换元积分法 Th 12 设 函数 满足条件： , 且 ; 在 上有连续的导函数. 则 . （ 证 ） 例1 . ( P225 ) 例2 . ( P225 )例3 计算 . ( P225226 ) 该例为技巧积分.例4 . 该例亦为技巧积分.例5 已知 , 求 例6 设函数 连续且有 求积分 例7设 是区间 上连续的奇（或偶函数）函数，则 ， （ . ）例8 . 2. 分部积分法 Th13 ( 分部积分公式 ) 例9 例10 计算 . 解 = ；解得 直接求得 ， . 于是, 当 为偶数时, 有 ;当 为奇数时, 有 . 三. Taylor公式的积分型余项: P227229. 习 题 课 （2学时） 一 积分不等式： 1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1 证明不等式 .证 注意在区间 0 , 1 上有 , 例2 证明不等式 . 证 考虑函数, .易见对任何 , 在区间 上 和 均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而 , .因此有 .取 , . 在区间 仿以上讨论, 有 . 而 ， .综上 , 有不等式 . 2.某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 和 在区间 上可积. 为区间 的 等分分法, . 若对任何 和 , 均有 , 即得 .令 , 注意到函数 和 在区间 上可积, 即得积分不等式 .倘若函数 和 连续 , 还可由 .例3 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy不等式 ): 设函数和 在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式 .证法一 ( 由Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅上册 : 设 和 为两组实数, 则有 . ) 设 为区间 的 等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有 ,两端同乘以 , 有 ,令 , 注意到函数 、 和 在区间 上的可积性以及函数 的连续性，就有积分不等式 .证法二 （ 用判别式法 ） 对任何实数 ，有 ， , 即 对任何实数 成立.即上述关于 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 ,即 . 例4 且 . 证明不等式 .证 取 . 对函数 和 应用Schwarz 不等式, 即得所