五计算机实时控制系统的设计状态观测器PPT课件

1 5 5计算机控制系统的状态观测器 上节 我们讨论了极点配置的设计方法 即 需用全状态反馈作为期望的控制向量 但在实际工程中 不是所有的状态都是可以直接测量的 这时 上一章讨论的可观性的概念起着重要的作用 从下面的分析将可看到 只有当系统的可观性条件满足时 才能设计状态观测器 例如 很多系统 只有输出变量是可以测的 因此对于不能直接测量的状态变量 需要对它们进行估计 通常称这种估计为观测器 在实际系统中 需要从输出和控制变量来观测或估计不可测量的状态变量 这时 上一章讨论的可观性的概念起着重要的作用 从下面的分析将可看到 只有当系统的可观性条件满足时 才能设计状态观测器 2 在下面的讨论中 引用符号表示状态的观测向量 在很多系统中 用状态的观测向量作为状态反馈 来获得期望的控制向量 在状态观测器中 输出量和控制量作为输入量 而作为输出量 3 现在讨论状态向量能够观测的必要与充足条件 由图5 20可得状态和输出方程为 5 126 5 127 为了能对状态向量进行观测 必须能够从y k y k 1 y k n 1 和来获得x k 1 由方程式 5 126 得或 5 128 此处要求G非奇异 4 移前1次 得 5 129 将 5 128 式代入 5 129 得 5 将方程式 5 128 代入到 5 127 式中 得 同理 6 组合上述n个方程式为矩阵方程 得 7 8 方程式 5 132 就是由 5 126 式和 5 127 式所描述系统的状态完全可观测的必要与充足条件 也就是说 如果满足方程式 5 132 系统的状态是完全可观测的 那么 状态就可从和中求得 如果y k 是标量 在这一特殊情况下 矩阵C是1xn矩阵 将方程式 5 130 的两边乘上由方程式 5 131 描述的逆矩阵 可以求得x k 1 为 9 由上述的分析得出 当系统是完全可观测的条件下 可由方程式 5 130 求得状态x k 1 但由于实际系统中 存在着外界扰动和测量噪声 不能获得精确的状态向量 所以对有扰动的系统 需要采用观测的方法 如果矩阵C不是1xn矩阵 而是mxn矩阵 m 1 这样 5 131 式的逆阵就不能定义 故不能使用 5 133 式来求取状态 这时 可以采用另一种方法 即对系统的状态向量进行估计 并构成一个原系统的动态模型 例如 考虑由方程式 5 126 和 5 127 所描述的控制系统 假设状态用动态模型的状态观测值来近似 得 5 134 5 134 5 135 10 其中C G和H与原系统相同 假定动态模型与原系统有同样控制信号u k 初始条件也是同样的 那末与将是相同的 如果初始条件是不同的 那末与也是不同的 当初始条件不同时 用e k 表示与之间的误差 即将 5 126 式减去 5 134 式 得或 11 在上式中 误差向量可能存在着两种情况 一种情况 e k 是逼近于零的 这样 状态观测值是逼近于真实值的 另一种情况 e k 是不逼近于零的 这样 状态观测值也就是不逼近真实值 12 2 全阶状态观测器如果系统的状态观测器的阶次与系统的阶次相等 这样的状态观测器称为全阶状态观测器 假设x k 是需要观测的状态 我们总希望观测值与实际值尽可能地接近 在下面的分析中 假定状态是不可测量的 因此 状态观测值不可能与实际状态进行比较 如果输出量是可以测量的 这样输出量的估计值与输出量的测量值是可以进行比较的 使用输出测量值与估计值之间的误差 作为校正项的状态观测反馈控制系统 如图5 21所示 13 图5 21状态观测反馈控制系统 14 由图5 21 可得 5 136 5 137 其中观测器的反馈增益矩阵 nxm 维 5 137 式可改写为 5 138 在方程式 5 138 中 因为观测值是比测量值Y k 超前一个采样周期 所以由 5 138 式给出的状态观测器称为预报观测器 其中的特征值为观测器的极点 1 全阶状态观测器的动态误差将方程式与方程式 5 138 相减 可得观测器的误差方程式为 15 5 139 我们定义与之间的差值作为误差e k 即于是 方程式 5 139 成为 5 140 由 5 140 式可见 误差信号的动态特性处决于的特征值 如果矩阵对任意的初始值能使误差向量收敛于零值 那么 不管和的值如何 状态观测值总会收敛于 因此 我们可以选取合适的的特征值 使误差向量能尽快地收敛于零值 16 2 预报观测器的设计下面讨论求取观测器的反馈增益矩阵的方法 重写方程式 5 140 得 上述误差方程的动态性能 即误差衷减的速度 它的稳定值 与它的闭环特征方程式的根有关 上述误差方程式的闭环特征方程为 与极点配置时一样 首先对G与C阵进行变换 使它成为标准形式 为此 取变换矩阵为 相当于极点配置的 17 18 对特征方程式进行左乘 右乘阵的变换 即 19 上式为列向量设为 20 21 设动态误差期望特征值方程式的根为则动态误差的期望特征方程式为使上述两个方程式的同阶次系数相等 22 23 3 求取观测器反馈增益矩阵的奥克曼 Ackermann 公式方程式 5 158 不是设计观测器反馈增益矩阵的唯一形式 下面讨论用奥克曼 Ackermann 公式来求取的方法 24 考虑到 上式可修改为 25 因为 得显然 5 163 26 4 结论由式 5 138 表示的全阶预报观测器为状态观测值的反馈可表示为将上式代入到全阶预报观测器的方程式中 得上式称为观测状态反馈控制的全阶预报观测器 与极点配置设计的方法相似 有4种不同的方法可以用来求取观测器的反馈增益矩阵 27 28 29 30 4 如果系统的阶次比较低的 假定观测器的反馈增益矩阵含有未知元素 那么矩阵的元素可用观测器的特征方程式和动态误差期望特征方程式中z的阶次相同的各项系数相等的办法来求取 即令观测器的特征方程式其中和期望特征多项式中z的阶次相同的各项系数相等 从而可求得的值 31 例5 8已知系数的状态方程式为其中T为采样周期 试用上述4种方法设计一个状态观测器 使动态误差具有最少拍响应特性 解 首先校验可观测性条件 即它的秩为2 因此系统是完全可观测的 32 其次 求系统的特征方程式所以 因为要求观测器的响应是最少拍的 所以它的特征方程式为那么 a 参照方程式 5 165 得 33 因此 观测器的反馈增益矩阵可由下式求得 其中 34 b 由 5 166 式所示的奥克曼 Ackermann 公式 可由下式求得其中因此 观测器的反馈增益矩阵为 35 c 参照方程式 5 168 得其中因为故和向量可由下式求得 36 于是 观测器的反馈增益矩阵可由下式求得 d 首先假设特征方程式为 37 38 其中和是任意值 假定为其中和为任意值 于是其中a和b为任意常数 那么 由方程式 5 140 得 39 误差向量e 1 和e 2 可由下式求得以及 显然地 最多两个采样周期 误差向量e k 变为零 由此 对有最少拍响应的观测器 由任意初始状态x 0 最多经两个采样周期后 状态向量的观测值可与实际状态值相等 40 最后 可得观测器方程式为 41 最少阶观测器 如果n维状态向量x k 中 其中m维输出向量y k 是可测量的 需要估计的只有n m个状态向量 对只要估计那些不可测状态向量的观测器 称为最少阶观测器如果输出变量的测量值包含噪声 测量值相对来说不十分精确 这时应用全阶观测器会有较好的性能 42 系统结构 43 系统方程 xa 可直接测量获得的状态向量xb 不可直接测量获得的状态向量 44 可得以下等式 将可测量的部分看作输出方程 45 降维的系统 46 比较 47 因为 所以观测器方程为 不是预测形式 48 49 最少阶观测器 令 有 50 误差方程 由前面原始系统模型可得 51 观测器存在的充要条件 52 带观测器状态反馈状态反馈控制器设计 53 设计步骤 设计控制器 K设计观测器 Ke 54 例5 10 已知系统的方程