面向鲁棒运动控制系统的分数阶PID控制器设计、自整定及实验研究博士学位论文.doc

博士学位论文面向鲁棒运动控制系统的分数阶PID控制器设计、自整定及实验研究2Fractional Order PID controller Synthesis, Auto-tuning and Experiment Studies for Robust Motion Control Systems矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。byYongshun JinB. E. (Hunan University) 2004M. S. (Hunan University) 2007A dissertation submitted in partial fulffilement of the聞創沟燴鐺險爱氇谴净。Requirements for the degree ofDoctor of EngineeringinElectrical Engineeringto theGraduate SchoolofHunan UniversitySupervisorProfessor Yao JiangangNovember, 2010湖 南 大 学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。本学位论文属于1、保密，在 年解密后适用本授权书。2、不保密R。（请在以上相应方框内打“”）作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日I博士学位论文摘 要随着分数阶微积分理论的发展，越来越多的人关注这一领域的实际应用问题。现有大量文献提到，利用分数阶微积分能够对许多事物进行更精确的数学建模，这些分析结论在很大程度上推动了分数阶理论在工程应用方面的发展。实际上自然界中许多系统特性用分数阶微积分来描述更为简单并更能真实的反映事物的本质规律。由于分数阶微积分是一种很好的应用于工程的数学工具，因此许多研究者开始将分数阶微积分的应用向各个领域进行延伸，其中在控制领域的研究是比较富有成效的。许多文献提出了基于分数阶微积分的控制器数学模型及结构，但是对比整数阶控制器的广泛应用，分数阶控制器的发展仍处于起步状态。值得注意的是，FOPID(Fractional Order Proportion Integration Differentiation)控制器的诞生，为分数阶控制器的应用开辟了一个新的领域。FOPID控制器结构上的特点使得其具有传统整数阶PID控制器无法比拟的优势。关于FOPID控制器参数整定有一些学者进行过研究，但是这方面的研究还存在许多未解决的问题或不足，如缺乏系统性的控制器参数整定方法、整定计算过程复杂、缺乏与传统控制器对比优势研究等一系列的问题。因此，开展对FOPID控制器相关问题的研究以及探索其在工程方面的实际应用是一项非常有意义的工作。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。控制理论中有一个重要的课题，也是一个在控制器设计时需要考虑的问题系统鲁棒性。在现实的控制问题中，系统特性或参数的变化常常是不可避免的，因为系统在运行过程中受到环境等因素的影响将会引起系统参数的飘移。为防止这种参数摄动导致的系统性能改变，控制器的鲁棒性设计就成为了一个重要的研究课题，而FOPID控制器阶数的取值特点使得其在鲁棒性设计时具有比传统整数阶PID控制器更为灵活的优点。系统不单可以满足稳定性要求，同时还可以满足系统参数鲁棒性设计的需求。因此，本文对控制系统中被控对象的系统增益以及时间常数的鲁棒性进行了研究，提出了一系列针对系统参数鲁棒性的分数阶控制器整定方法，并通过电机等电气工程的实际应用方面的分析进行了验证。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。本文的贡献主要是利用FOPID控制器的结构特点，提出了针对不同控制对象的FOPID控制器参数鲁棒性的整定方法。同时根据分数阶控制系统鲁棒性设计方法，提出了一种基于FOPID控制的参数自整定设计算法。通过仿真和实验，验证了本文所提出方法的正确性。 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。本文的具体研究成果包括：（1）设计了一种针对系统增益鲁棒性的FOPID控制器参数整定公式。针对电机位置伺服系统模型以及速度伺服系统模型，系统地提出了FOPD、FOPD、FOPI、FOPI的整定方法。通过系统仿真，验证了所提方法的正确性，并证明了在同等环境下分数阶控制器的控制性能优于传统的整数阶PID控制器。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（2）第一次提出了一种基于系统时间常数鲁棒性的FOPD参数整定算法。对整定方程的数值计算方法进行了深入的研究，给出了整定方程组解的存在性的约束条件。另外，为了简化计算方法以及实现在线计算，本文还提出了一种快速在线计算参数的方法。系统仿真和实验研究的结果证明了这种整定方法的有效性和正确性。 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。（3）根据未知的、开环稳定的最小相位系统，提出了具有iso-damping（等阻尼）特性的FOPI、FOPI、FOPD、FOPD四种分数阶控制器的自整定方法。在未知被控对象的前提下设计了一种继电反馈测试实验，从而实现了该方法在控制领域的实际应用。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。（4）根据FOPID控制器的性能特点，开拓了分数阶控制器的应用空间，讨论了FOPID控制器整定算法在同步追踪控制系统中的应用。通过仿真研究，证明了该方法能很好地实现多个系统的同步追踪。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。（5）首次在基于LabVIEW的实验平台上实现了FOPID控制器的实验研究，进一步在此实验平台上验证了分数阶PID控制器的性能特点。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。关键词：分数阶PID；参数整定；运动控制；鲁棒性；自整定；LabVIEWAbstractWith the progress of fractional calculus, its application research has attracted more and more attention. Now, fractional order calculus is being employed in many literatures to more precisely model many real world systems. It is natural to explore the potentials of fractional order systems and control theory in engineering developments. In fact, fractional order models used to characterize the systems in real world can more concisely and precisely reflect the nature or essence of the systems. Fractional calculus is emerging as one of the best useful mathematic instruments in engineering application, hence the applications of fractional calculus has been explored in many subject areas, and one of the fruitful areas is in control engineering. Literatures have offered several valuable models and structures of fractional order controllers, however, compared with the integer order controllers, a lot of investigations yet need to be done. FOPID (Fractional Order Proportion Integration Differentiation) controller is a new area of research in fractional order calculus applications. Advantages of the fractional order PID controller include its structural simplicity and its direct generalization of tranditional PID controller, most-widely usedin industry. Tuning rules development for the fractional order PID parametersetting have been an important research topic with many unsolved issues depending on prior information assumed about the plant to be controlled. These issues include, for example, the lack of systematic tuning method; high complexity in parameter calculation in tuning the controllers and the lack of fair comparison with the integer order controllers. Therefore, it is of practical importance to develop FOPID tuning methods and explore its potential applications in engineering. 铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 Robustness of a control system is a very important topic in control theory, which should be considered during the controller design. In real world control system, variations in systems properties and physical parameters are unavoidable due to many factors, such as environment changes. To avoid the performance change due to parameter variations, the robustness of the controller is the central topic on which this dissertation focuses. FOPID focused in this dissertation is more flexible in achieving robust performance. The controlled systemunder FOPID controller not only can meet the stability requirement, but also meet the robust requirement with respect to uncertainties in system model such as gain to time constant variations. This dissertation focuses on developing a systematic fractional order PID controller tuning rule to achieve system performance robustness against variations in system gain and time constant DC motor experiment is used to validate the developed tuning methods. 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 The main contribution of this thesis is on the development of FOPID robust tuning rule based on different controlled systems Meanwhile, for practical use in industry, an auto-tuning design method has been developed. Both simulation and experimental results are included to illustrate the developed FOPID tuning methods.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 Specifically, the research results in this dissertation include:坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。(1) FOPID tuning rules based on the system robustness requirement against system gain variations is developed. Systematic tuning rules about FOPD, FOPD, FOPI,FOPI are derived. Simulation results are presented to verify that the performance of the designed fractional order controller is better than the integer order PID controller.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。(2) A FOPD tuning rule based on systemrobustness requirement with respect to time constant uncertainty is developed for the first time. Detailed mathematic derivations are presented and the requirements on the existence of solution in the tuning equations are studied, too. To simplify the computational method for online implement, an online computational method is developed. Results of both simulation and experiments are included to show the correctness and effectiveness of this new tuning rule.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。(3) For unknown, stable, minimum phase systems, a set of auto-tuning rules for four types of FOPID controllers: FOPI, FOPI, FOPD, FOPD having the desirable iso-damping property are derived. A relay feedback experiment method is introduced for easy implemention of the fractional order PID controller in real world control systems.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。(4) We extend the fractional order controller application areas to synchronized tracking control systems. We study how fractional order controller can better synchronize the multiple motion control systems. Simulation results are presented to verify that this fractional order control method can improve muti-system synchronization. 驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。(5) For the first time the FOPID controller has been implemented on the LabVIEW experiment platform. The experiment results have verified that the FOPID can offer outstanding performance. 猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。Key words: Fractional calculus, fractional order PID; parameters tuning; motion control; robustness; auto-tuning; relay feedback, LabVIEW锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。VIII目 录学位论文原创性声明与版权使用授权书I摘 要II構氽頑黉碩饨荠龈话骛。AbstractIII輒峄陽檉簖疖網儂號泶。插图索引IX尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。第1章 绪 论1识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。1.1研究背景及研究意义1凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。1.2 分数阶微积分定义3恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。1.2.1 Gamma 函数3鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。1.2.2 Mittag-Leffler 函数3硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。1.2.3 Grnwald-Letnikov定义4阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。1.2.4 Riemann-Liouville 定义4氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。1.2.5 Caputo 定义4釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。1.3 分数阶微积分的Laplace 变换5怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。1.3.1 Riemann-Liouville定义下的Laplace变换5谚辞調担鈧谄动禪泻類。1.3.2 Caputo定义下的Laplace变换5嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。1.4 分数阶微积分在控制系统中的应用6熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。1.4.1分数阶控制器研究现状6鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。1.4.2 分数阶PID控制器概述8纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。1.4.3 分数阶PID控制器的整定方法概述9颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。1.4.4 分数阶PID控制需要解决的几个问题9濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。1.5 分数阶PID控制器在电力系统负载频率控制方面的应用价值10銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。1.6 本课题来源及本文的主要研究内容11挤貼綬电麥结鈺贖哓类。1.6.1 本课题来源11赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。1.6.2 本文主要研究内容11塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。第2章 对系统开环增益鲁棒性分数阶PID控制器设计方法13裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。2.1 引言13仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。2.2 开环增益鲁棒性分数阶PID控制器参数整定方程设计原理13绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。2.3 分数阶PD及PD控制器参数整定问题的研究16骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。2.3.1 FOPD控制器设计17瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。2.3.2 分数阶PD控制器设计19鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。2.3.3整数阶PID控制器23栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。2.4 增益鲁棒性FOPI及FOPI控制器整定算法25辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。2.4.1 FOPI控制器参数整定方法25峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺。2.4.2 FOPI控制器整定方法27詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。2.5 系统仿真28则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷。2.5.1 FO-PD控制系统阶跃响应28胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。2.5.2 FOPD控制器阶跃响应29鳃躋峽祷紉诵帮废掃減。2.5.3 IO-PID控制器阶跃响应30稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜。2.5.4 利用三种控制器进行仿真比较30陽簍埡鲑罷規呜旧岿錟。2.5.5 FO-PI控制器阶跃响应31沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。2.5.6 FOPI控制器阶跃响应32钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺。2.6 本章小结33懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮。第3章 对系统时间常数鲁棒性的分数阶PD控制器设计方法35謾饱兗争詣繚鮐癞别瀘。3.1 引言35呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚。3.2问题描述35莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减。3.3 FOPD整定方程以及方法36麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶。3.4 数值计算39納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬。3.4.1 解存在的范围39風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。3.4.2 数值计算和仿真验证41灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹。3.4.3 与其他方法比较验证44铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝。3.4.4 在线计算45攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸。3.5 实验研究47趕輾雏纨颗锊讨跃满賺。3.6 本章小结49夹覡闾辁駁档驀迁锬減。第4章 分数阶PID自整定算法研究51视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝。4.1 引言51偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠。4.2 控制器自整定算法研究51緦徑铫膾龋轿级镗挢廟。4.2.1 整定方程设计52騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼。4.2.2 FOPI控制器自整定算法研究52疠骐錾农剎貯狱颢幗騮。4.2.3 FOPI控制器自整定算法研究55镞锊过润启婭澗骆讕瀘。4.3 FOPD以及FOPD控制器自整定问题研究57榿贰轲誊壟该槛鲻垲赛。4.3.1 FOPD控制器参数自整定方法57邁茑赚陉宾呗擷鹪讼凑。4.3.2 FOPD控制器自整定算法研究59嵝硖贪塒廩袞悯倉華糲。4.4 自整定策略61该栎谖碼戆沖巋鳧薩锭。4.5 几种受控对象模型的控制方法及仿真62劇妆诨貰攖苹埘呂仑庙。4.5.1 高阶模型62臠龍讹驄桠业變墊罗蘄。4.5.2 带积分的被控对象64鰻順褛悦漚縫冁屜鸭骞。4.5.3 带延时对象67穑釓虚绺滟鳗絲懷紓泺。4.6 本章小结70隶誆荧鉴獫纲鴣攣駘賽。第5章 分数阶PID控制器在多电机同步追踪系统中的应用71浹繢腻叢着駕骠構砀湊。5.1 引言71鈀燭罚櫝箋礱颼畢韫粝。5.2 系统分析72惬執缉蘿绅颀阳灣熗鍵。5.2.1 多轴控制系统结构72贞廈给鏌綞牵鎮獵鎦龐。5.2.2 带延时系统的同步性设计73嚌鲭级厨胀鑲铟礦毁蕲。5.2.3 延时补偿73薊镔竖牍熒浹醬籬铃騫。5.2.4 时间延时的同步74齡践砚语蜗铸转絹攤濼。5.3 控制器设计方法75绅薮疮颧訝标販繯轅赛。5.3.1 内环控制器设计75饪箩狞屬诺釙诬苧径凛。5.3.2 外环控制器设计方法76烴毙潜籬賢擔視蠶贲粵。5.3.3 控制器参数整定流程79鋝岂涛軌跃轮莳講嫗键。5.4 系统仿真79撷伪氢鱧轍幂聹諛詼庞。5.5 本章小结83踪飯梦掺钓貞绫賁发蘄。第6章 基于LabVIEW 的分数阶控制系统实验平台84婭鑠机职銦夾簣軒蚀骞。6.1 引言84譽諶掺铒锭试监鄺儕泻。6.2 实验系统介绍84俦聹执償閏号燴鈿膽賾。6.3 系统设计86缜電怅淺靓蠐浅錒鵬凜。6.4 几种控制器的实验验证88骥擯帜褸饜兗椏長绛粤。6.4.1 FO-PD控制器实现88癱噴导閽骋艳捣靨骢鍵。6.4.2 FO-PD控制器实现89鑣鸽夺圆鯢齙慫餞離龐。6.4.3 性能比较研究906.5 本章小结91榄阈团皱鹏緦寿驏頦蕴。结论与展望93逊输吴贝义鲽國鳩犹騸。参考文献95幘觇匮骇儺红卤齡镰瀉。致谢107附录A 攻读博士学位期间完成的学术研究论文108誦终决懷区馱倆侧澩赜。附录B 攻读学位期间主持和参与的科研课题109医涤侣綃噲睞齒办銩凛。插图索引图1.1 Leibniz与LHospital对分数阶微积分的探讨1舻当为遙头韪鳍哕晕糞。图 2.1闭环系统结构框图14鸪凑鸛齏嶇烛罵奖选锯。图 2.2不具有增益鲁棒性的系统Bode图15筧驪鴨栌怀鏇颐嵘悅废。图 2.3具有增益鲁棒性控制系统Bode图15韋鋯鯖荣擬滄閡悬贖蘊。图 2.4 FOPD控制系统Bode图18涛貶騸锬晋铩锩揿宪骟。图 2.5 FOPD控制系统Bode图19钿蘇饌華檻杩鐵样说泻。图 2.6当时，和L的关系22图 2.7当，和L的关系22图 2.8当，和L的关系22图 2.9当，和L的关系23图 2.10当，和L的关系23图 2.11 IOPID系统的Bode图24戧礱風熗浇鄖适泞嚀贗。图 2.12 FOPD控制系统阶跃响应29購櫛頁詩燦戶踐澜襯鳳。图 2.13 FOPD控制系统阶跃响应29嗫奐闃頜瑷踯谫瓒兽粪。图 2.14 IO-PID控制系统阶跃响应30虚龉鐮宠確嵝誄祷舻鋸。图 2.15 FOPD、FOPD、IOPID三种控制器的比较31與顶鍔笋类謾蝾纪黾廢。图 2.16 FOPI开环控制系统Bode图31結释鏈跄絞塒繭绽綹蕴。图 2.17 FOPI控制系统阶跃响应32餑诎鉈鲻缥评缯肃鮮驃。图 2.18 FOPI控制系统Bode图32爷缆鉅摯騰厕綁荩笺潑。图 2.19 FOPI控制系统阶跃响应33锞炽邐繒萨蝦窦补飙赝。图 2.20 FOPI、FOPI、IOPID 三种控制器阶跃响应比较33曠戗輔鑽襉倆瘋诌琿凤。图 3.1 RC滤波网络35轉厍蹺佥诎脚濒谘閥糞。图 3.2 的解42图 3.3 T=1 时的Bode图42嬷鯀賊沣謁麩溝赉涞锯。图 3.4 T=1时FOPD的阶跃响应43讯鎬謾蝈贺綜枢辄锁廪。图 3.5 T=1.2时的Bode图43兒躉讀闶軒鲧擬钇標藪。图 3.6 T=0.8时的Bode图44繅藺詞嗇适篮异铜鑑骠。图 3.7 不同时间常数阶跃响应的比较44鮒簡觸癘鈄餒嬋锵户泼。图 3.8 ITAE优化后PID控制系统阶跃响应45眯毆蠐謝银癩唠阁跷贗。图 3.9 ，和之间的关系46图 3.10 Quanser实验平台47闵屢螢馳鑷隽劍颂崗鳳。图 3.11 Quanser系统模块结构图47檁傷葦开阈灯伞馑諧粮。图 3.12 1号电机阶跃响应曲线48鄭饩腸绊頎鎦鹧鲕嘤錳。图 3.13 2号电机阶跃响应曲线49弃铀縫迁馀氣鰷鸾觐廩。图 3.14 3号电机阶跃响应曲线49调谇續鹨髏铖馒喪劉薮。图 3.15三台电机阶跃响应曲线比较图49厲耸紐楊鳝晋頇兗蓽驃。图4.1 开关加人工延时（）的反馈控制系统框图61苧瑷籮藶黃邏闩巹东澤。图4.2 对于的FOPI系统Bode图61鴿摄禱鋅儀憚銼嚕缗赞。图4.3 的FOPI系统Bode图63箪啬癲剀净赶钩嬙鳄凫。图4.4 对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应63顽鷙瑪滨廈岘轆庫糞糧。图4.5 对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应64漬閫熾诀团諳赓戰餛锰。图4.6 对于利用FOPI和FOPI控制器的阶跃响应比较图64鐸輜澠顶嫻塊謂斕痹廪。图4.7 对于的FOPI系统Bode图65抢觀淚婭师讴论櫚阵蘚。图4.8 对于的FOPI系统Bode图65贼組櫻種愨单蝕渾潷骡。图4.9 对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应66圓漣檸賡捣蕷舻燁錘泽。图4.10 对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应66蟄彎擼鯁棖佇緡癟椠贊。图4.11 对于利用FOPI和FOPI控制器的阶跃响应比较图67义淨擁扪殴胁纸窺钣鳧。图4.12 对于的FOPI系统Bode图67绥骅懸缙澀鷂禍紳撻粮。图4.13 对的FOPI系统Bode图68馒锁開钥焖緒珏編軻錙。图4.14 对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应68獄质嶇僅痺鲒潰脫帧開。图4.15对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应69鍥苋娛殫秽笾殇蕢谬藓。图4.16对于利用FOPI和FOPI控制器的阶跃响应比较图69杂砖墳雖紜飯曇覡墾騾。图5.1 多轴控制系统结构图72轼栀嗶鑊绷瘍懔諍訝澤。图5.2 Smith 延时预测结构73尋头厭呛羈阴帥讕匦赞。图5.3信号扰动观测器结构74图5.4提出的处理延时结构74图5.5改进后的系统结构图75图5.6 和的关系78图5.7 FOPD开环系统Bode图79訪齙剛玺苏滥夹趕萤凭。图5.8 FOPD和IOPID控制系统阶跃响应比较80写韞僂谌虛鍤囈辮褻糝。图5.9 FOPD与IOPID系统同步误差81罴醬畝饼誊歿凑鈑繳锱。图5.10 FOPD控制系统画圆效果81鲢診龄師該铃書銨鴇开。图5.11延时为系统Bode图82磚緙鹅綱谩擞鴻鑌纸蘚。图5.12系统同步误差82图5.13 FOPD系统画圆83鬮煒鳍輥賠還鲂隊驼骡。图6.1 Labview硬件系统结构图85毕懍鲅鵑较惻飾顳矯泾。图6.2 实验系统实物图86图6.3 IO-PID的VI程序87钆歷驾无醬赔隽驍韉贈。图6.4 IO-PID基于Labview的前端显示板87徠鲣饮脸铄尝鏍鯢炀憑。图6.5 FO-PD控制器VI程序88謂镊颇铵鋃誼铰鸚镉糁。图6.6 FOPD基于Labview的前端显示板89变赵陧涼镦囑釧亿殮錙。图6.7 FOPD基于Labview的前端显示板90荟蓥闶漸陸讣轾减鈿異。图6.8 三种控制器性能比较90图6.9 整数阶PID控制器系统增益改变时鲁棒性验证91鹏筛镐討颛办費叹摄虏。图6.10 分数阶PD控制器系统增益改变时鲁棒性验证91糝殒锔雋駛鶯诼垆辐驄。图6.11 分数阶PD控制器系统增益改变时鲁棒性验证.91頜层铢壶鲜儀計尧當涇。XI第1章 绪 论1.1研究背景及研究意义人类对数字的认识是从整数开始，逐渐了解到小数的客观存在并发现其在实际生活中具有的重要意义；人类对图形的认识是从整体图形开始，逐渐了解到分形的客观存在，并不断挖掘整体和部分存在的联系；在微积分领域人们首先了解到整数阶微积分，然后逐渐认识到分数阶微积分的客观存在。这一切都说明人类对自然界及客观事物的认识是逐渐形成的。随着人们对分数阶微积分认识的不断加深，越来越多的人开始认识到分数阶微积分对近代科学高速发展具有的价值和意义。滚伛钮硕鷙耸蒋忆貯赠。分数阶微积分究其发展历史可以说是一门古老而又新兴的学科。分数阶微积分理论诞生于1695年，在 Leibniz 与 LHospital 的书信来往中，谈论到了分数阶导数的相关问题，如图（1.1）。随后Leibniz给出了分数阶微分的简单定义，铣饜酝贻龙鵠臚拧奥凭。 （1.1）图1.1 Leibniz与LHospital对分数阶微积分的探讨撾鉬辙魇侨絢绾来诔緊。1730年L.Euler由整数阶微积分的定义给出了分数阶微积分的定义 (1.2) (1.3) (1.4) Euler进一步认为此种关系也可使用于阶次为非整数或负数的情况。当，,时有 (1.5) 随着时间的推移越来越多的数学家展示出了对分数阶微积分浓厚的兴趣，并在此道路上作出了巨大的贡献1。然而由于长期以来一直找不到充分的应用背景，分数阶微积分的发展一直停留于纯数学理论方面的研究。直到上世纪七十年代，在美国的New Haven大学组织了第一届分数阶微积分及其应用大会，这次大会为分数阶微积分的实际应用起到了积极的推动作用。越来越多的学者开始探寻分数阶微积分作为一种数学工具可能的工程应用价值。1982年数学家B.B.Mandelbrot 首次指出大量分数维的现象存在于自然界和许多技术科学中，由此分数阶微积分作为分数阶动力学的基础和有力工具获得了极大的发展。科学家们开始意识到分数阶导数在诸多领域的确存在巨大的应用价值，分数阶微积分的应用开始在松弛、粘弹性力学、电磁学及非牛顿流体力学、控制系统、振荡、扩散理论、生物组织、高分子材料、混沌与湍流、随机游走、电化学等诸多领域展开探索研究，在这些领域的研究成果证明了分数阶微积分的价值1-9。賒調轧憊劌髋糾殡縣锲。 特别值得一提的是，最近几十年分数阶微积分在描述各种物理、化学材料的特性时展现出来了巨大的应用前景。分数阶导数对各种各样的材料和过程(特别是在描述记忆和遗传方面)的数学描述，较之整数阶模型而言更为精确10。这一优势在结构力学，电学，流体力学等方面体现得更为明显。垒羥赎緙呒窍砀渖虯异。 由于越来越多的复杂系统用分数阶来描述会更为精确和简单，最近分数阶微积分在控制领域的发展也开始受到人们的关注。大量学者将分数阶微积分理论应用于控制系统的研究，并不断取得进展11-12。许多学者认为并证明了分数阶控制器在控制分数阶系统时，系统稳定以及动态性能方面具有整数阶控制器无可比拟的优势13。因此随着分数阶微积分从一个纯数学问题开始演变成一种系统建模的工具，再到推动分数阶控制理论的发展，必须承认这是分数阶微积分理论和控制理论共同良性发展的一条必然之路，它们之间互相提供了大量的、新的研究方向和发展空间。尽管分数阶微积分是一个有300多年历史的课题，但分数阶微积分与控制理论的结合还是个新兴的领域，可以预见利用分数阶微积分将是未来控制界研究讨论的一个新的热点。衅璉贡釙壘颯狽狰侦虜。1.2 分数阶微积分定义在分数阶领域里，分数阶算子在时域中的统一表达形式为： (1.6)随着分数阶微积分的发展，根据其应用领域的不同至今为止出现了很多关于分数阶微积分的数学定义。然而，在控制领域应用较多的是三种分数阶微积分定义10：Grnwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义、Caputo定义。畝擱谎为寻瓊涞瞩肾骢。 在介绍分数阶定义之前，先介绍几种在分数阶微分方程中常用的特殊函数。1.2.1 Gamma 函数 Gamma函数定义为： (1.7)其中。Gamma函数的一个基本性质 (1.8)Gamma函数在z=-n处为单极点。可以表示成， (1.9)1.2.2 Mittag-Leffler 函数 Mittag-Leffler函数在微分方程中起着非常重要的作用。是带有一个参数的Mittag-Leffler函数的特殊情况，其在整数阶微分方程中应用十分广泛。单参数Mittag-Leffler函数的定义为綿嘮诠榉異阌欏箫鹉泾。 (1.10)在分数阶微分方程中，Mittag-Leffler函数也扮演着十分重要的角色。两参数及广义Mittag-Leffler函数为騶鸲记蒉戗渗摆绞絎贍。 （1.11）其中。广义Mittag-Leffler函数定义为 （1.12）其中。1.2.3 Grnwald-Letnikov定义 对于任意的，函数的阶导数定义如下 （1.13）其中，是两个极值。当时，表示的阶导数；当时，表示的次微分。很多时候分数阶后向差分以一种极值的情况出现是很不利于实际应用的。现闾袜镒攆錘惻缮騫凱。如果满足，那么有性质 （1.14）1.2.4 Riemann-Liouville 定义 （1.15）其中，为Gamma函数。 Riemann-Liouville 的定义需要保证函数是连续的，这一点在数学上的要求是比较苛刻的。然而，对于一个实际系统，特别是工程运用的角度来看，实际系统函数的连续性是完全可以保证的。另外地，Riemann-Liouville 定义在工程中得到广泛应用，还有一个重要条件就是它要求可积。这在工程实际应用中是一个较弱的条件。镄辉蔺敘档檻岂苈祸紧。 然而， 有一点是值得我们思考的，Riemann-Liouville 定义需要解决一个初始值问题。虽然这个问题可以在数学理论上得到很好的解决，却缺乏实际的物理意义。因此，在应用方面的发展受到阻碍。梟裥荞獰淪钲壚蚀颈鍥。1.2.5 Caputo 定义 上世纪60年代末，意大利数学家M. Caputo指出了分数阶微积分在数学和物理应用上的矛盾，并提出了新的分数阶微积分定义輟绀脑誒滢搂厨议犧異。 （1.16）其中。从上式可以看到Caputo 定义较之前两种定义条件强一些，它要求函数前n阶导数可积。Caputo定义的优点在于其初值有明确的物理意义，而Riemann-Liouville的却没有。还有就是Caputo定义对常数的导数是有界的，即常数的导数为0，而Riemann-Liouville定义对常数的导数却是无界的。这些对于函数频域分析及工程应用具有非常重要的意义，特别是在控制领域的应用。屡浔缱飛獼轄黨诼鐙虏。1.3 分数阶微积分的Laplace 变换在控制系统中，时域和频域往往能找到明确的对应关系。Laplace变换在工程上应用十分广泛，对于某些在时域分析中比较繁杂的系统，对系统进行Laplace变换，利用频域分析往往可以让分析变得容易。对于一个普通函数的Laplace变换为诏弑缁岘睑慫龜贮沩驏。 (1.17)对于分数阶函数而言，根据不同的定义，其Laplace变换存在着差别，下面将介绍两种常用定义的Laplace变换。鳧冲经粮籩赂鸡躯铠潔。1.3.1 Riemann-Liouville定义下的Laplace变换 从Riemann-Liouville分数阶微分定义，可以得到其任意正数阶Laplace变换可以表示为 (1.18)其中。Riemann-Liouville定义的分数阶积分的Laplace变换表示为 (1.19)以上便是著名的Riemann-Liouville分数阶微分的Laplace变换。但是由于缺乏明确的物理意义，它的应用受到了很大的限制。聰駘絷轳终实騭逻顯赡。1.3.2 Caputo定义下的Laplace变换Caputo定义下的分数阶微分因其在初始条件的导数为0，具有明确的物理意义，在实际中应用较为广泛。根据Caputo定义的分数阶微积分的Laplace变换也是在控制领域应用得比较频繁的。鯧鋱窃鸨緶諏颤钻邇凯。 Caputo定义下的分数阶积分Laplace变换为 (1.20)其中， (1.21)我们可以得到Caputo分数阶微分的Laplace变换为 (1.22)其中。1.4 分数阶微积分在控制系统中的应用自上世纪80年代至今，分数阶微积分从数学领域的纯理论研究逐渐开始跟实际相结合发展到了理学、工学、经济学等等领域。但是分数阶微积分的发展较之整数阶微积分仍然很慢，主要是由于分数阶微积分的定义很多，在不同的领域没有一个统一的数学定义。在应用方面，分数阶微积分的应用往往需要大量复杂的数学理论作为基础，并且在很长时间里面无法找到分数阶微积分实际的物