山东省枣庄四中高中数学《分析法》课件 新人教A版选修2-2

用分析法证明不等式时应注意的问题 1 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 2 分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 利用分析法证明不等式 3 用分析法证明数学命题时 一定要恰当地用好反推符号 或 要证明 只需证明 即证明 等词语 例1 当x 4时 证明 审题指导 本题待证式中均含有根号 结构较复杂 因此可尝试运用分析法逐步将根号 脱掉 来证明 规范解答 欲证 x 4 只需证即证展开得即只需证即证x2 5x 4 x2 5x 6 即4 6 这显然成立 当x 4时 变式训练 设x 0 y 0 求证 证明 x 0 y 0 要证只需证 只需证 x2 y2 3 x3 y3 2 只需证 x6 3x4y2 3x2y4 y6 x6 2x3y3 y6 只需证 3x4y2 3x2y4 2x3y3 只需证 3x2 3y2 2xy 因为3x2 3y2 x2 y2 2xy 所以3x2 3y2 2xy 综上原不等式成立 应用分析法证明问题的模式 若p则q形式 如下 为了证明命题q为真 只需证命题p1为真 从而有 只需证命题p2为真 从而有 只需证明命题p为真 而已知p为真 故q必为真 利用分析法证几何问题 例2 求证 当一个圆与一个正方形的周长相等时 这个圆的面积比正方形的面积大 审题指导 要先进行题目条件数学语言的转化 引入必要的字母及表达式 然后利用分析法证明 规范解答 设圆和正方形的周长为l 依题意 圆的面积为 正方形的面积为 因此本题只需证明 为了证明上式成立 只需证明两边同乘以正数 得 因此 只需证明4 上式显然成立 故 变式训练 如图 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证 AF SC 证明 要证AF SC 只需证SC 平面AEF 只需证AE SC 因为EF SC 只需证AE 平面SBC 只需证AE BC 因为AE SB 只需证BC 平面SAB 只需证BC SA 因为AB BC 由SA 平面ABC可知上式成立 所以AF SC 1 分析综合法 解决数学问题 分析综合法 又叫混合型分析法 是同时从已知条件与结论出发 寻找其之间的联系而沟通思路的方法 在解题过程中 分析法和综合法是统一的 不能把分析法和综合法孤立起来使用 分析和综合相辅相成 有时先分析后综合 有时先综合后分析 分析综合法的方法结构如图所示 分析法与综合法的综合应用 2 分析综合法 证明的步骤 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法综合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论P 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论Q 若由Q可以推出P成立 就可证明结论成立 其证明模式可用框图表示如下 其中Q1代表结论 P1代表要证的条件 在平时的证明问题中 一般不是单纯地使用某一种证明方法 更多的是综合使用几种方法 例3 ABC的三个内角A B C成等差数列 其角A B C的对边分别为a b c 求证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 审题指导 本题可执果索因 将待证式化简后寻求成立的条件 也可执因索果将三内角成等差数列转换成三角形三边间的关系 进而逐步推至待证式 规范解答 方法一 分析法 要证 a b 1 b c 1 3 a b c 1成立 即证成立 即化简得又需证c b c a b a a b b c 即c2 a2 b2 ac 又 ABC的三个内角A B C成等差数列 所以B 60 由余弦定理 得所以a c2 b ac 所以原命题成立 方法二 综合法 因为 ABC三个内角A B C成等差数列 所以B 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即c2 a2 ac b2 两边同时加ab bc 得c b c a a b a b b c 两边除以 a b b c 得所以即所以 a b 1 b c 1 3 a b c 1 互动探究 若把本例的结论当条件 试证明 B 证明 a b 1 b c 1 3 a b c 1 即 c b c a a b a b b c b2 a2 c2 ac 又 B 0 B 利用分析法证明三角式1 当要证明的三角式含有的角和函数名称比较多 结构比较复杂 常需要进行变形化简 此时往往要考虑使用分析法 2 利用分析法证明三角式 其过程要注意等价变形 特别是对不等式两边进行乘除时 变形主要有两个方面 1 分式整式化 2 利用三角恒等变换公式化简 例 已知 k k Z 且sin cos 2sin sin cos sin2 求证 审题指导 比较已知条件和结论 发现结论中没有出现角 因此第一步可以从已知条件中消去角 观察已知条件的结构特点 发现其中蕴含数量关系 sin cos 2 2sin cos 1 于是 2 2 得4sin2 2sin2 1 与结论相比较 发现角相同 但函数名称不同 于是尝试统一函数名称 即把正切函数化为正 余 弦函数 规范解答 因为 sin cos 2 2sin cos 1 所以将 代入 可得4sin2 2sin2 1 另一方面 要证只需证只需证cos2 sin2 cos2 sin2 只需证1 2sin2 1 2sin2 即证 sin2 2sin2 1 由于上式与 相同 于是问题得证 变式备选 已知函数f x tanx x 0 若x1 x2 0 且x1 x2 求证 解题提示 本题从条件直接入手 很难寻得思路 如果利用分析法 步步变形 问题极易解决 证明 要证只需证只需证 化切为弦 只需证 只需证只需证明0 cos x1 x2 1 由x1 x2 0 且x1 x2可知0 cos x1 x2 1成立 所以 典例 12分 求证 审题指导 要证不等式的两端均为无理数 不易直接证明 可采用分析法证明 规范解答 和都是正数 要证 2分只需证 4分只需证 6分只需证 3 8分只需证 5 9 因为5 9显然成立 10分所以不等式成立 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知a 1 求证 证明 要证只需证 只需证 只需证1 只需证 a2 1 a2 只需证 1 0 上式显然成立 故成立 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使结论成立的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 等价条件 解析 选A 由分析法的定义知选A 2 欲证不等式成立 只需证 解析 选C 分析法是要寻找使得结论成立的充分条件 3 如图所示 四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面 满足 时 BD A1C 写上一个条件即可 解析 要证BD A1C 只需证BD 平面AA1C 因为AA1 BD 只要再添加条件AC BD 即可证明BD 平面AA1C 从而有BD A1C 答案 AC BD 答案不唯一 4 已知函数y x 在 3 上是增函数 则a的取值范围是 解析 y 1 要使函数y x 在 3 上是增