2018-2019学年绵阳中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省绵阳中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1已知向量，且，那么等于（ ）ABCD【答案】B【解析】由得出，求得后，可得和的坐标，再利用向量的数乘即减法运算求得即可.【详解】，即，解得：，.故选：B.【点睛】本题考查向量共线（平行）的充要条件，考查向量数乘和减法运算，属于基础题.2已知平面内四点满足，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】利用向量的三角形法则和数乘运算法则即可得出.【详解】由，可得：，即.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和数乘运算法则，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.3在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】根据四个选项的已知条件，结合正弦定理即可求解判断.【详解】对于A，由正弦定理可得：，无解；对于B，由正弦定理可得，且，有两解；对于C，由正弦定理可得：，此时，有一解；对于D， ，由正弦定理可得：，且，有一解.故选：B【点睛】本题考查运用正弦定理解三角形，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.4长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，游船正好到达处时，（ ）ABCD【答案】D【解析】用向量表示速度,根据向量的平行四边形法则，由题意可得，即可求解.【详解】设船的实际速度为,和的夹角为，北岸的点在的正北方向,游船正好到达处,则，.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量在物理中的应用问题，解题关键是根据向量的平行四边形法则及物理性质求解，考查数形结合思想和转化思想，属于基础题.5下列说法中，正确的个数为（ ）（1）平行四边形中，M为平面任意一点，（2）若，则与的夹角是锐角；（3）向量，能作为平面内所有向量的一组基底；（4）若，则在上的投影为.A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】利用向量的概念以及相关的运算分别分析四个说法，进行选择即可【详解】对于（1），根据平面向量的三角形法则：，正确；对于（2），若，则，故夹角是锐角或是的角，错误；对于（3），因为向量，即两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；对于（4），则在上的投影为，故(4)错误.故选：A.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查向量相关知识和内容，属于常考题.6在中，角的对边分别为，设边上的高为h，则h=（ ）ABCD【答案】C【解析】根据余弦定理先求出，然后求出，结合三角函数的定义进行求解即可【详解】，则，则.故选：D.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于常考题.7若、是夹角为的两个平面向量，且，则向量与向量的夹角为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据平面向量数量积和向量的运算法则计算即可.【详解】、是夹角为的两个平面向量，且，设与的夹角为，所以，故.故选：A.【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查数量积和向量的运算，考查运算能力，属于常考题.8在中，所对的边分别为，且满足，则的值为（ ）ABCD2【答案】A【解析】通过向量的数量积、余弦定理和正弦定理转化求解该三角形的外接圆的半径，再由计算即可【详解】因为，所以，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查解三角形的相关知识，考查运算能力，属于常考题.9直角三角形中，M为的中点，且P为与的交点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】设， 且与的夹角为， 由此可表示出和；结合已知可求出和，由此可求出，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.【详解】设， ，则，设与的夹角为， ，|，.，.即为向量与的夹角，故.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.10已知中，角的对边分别是，且满足，则三角形的形状为（ ）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【答案】D【解析】运用和差化积公式和正弦定理，判断三角形形状即可.【详解】，即，或或，故为等腰或直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.11如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）ABCD1【答案】C【解析】由与为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角形面积之比，连接并延长后，易得到与长度的关系，进行得到的面积与面积之比【详解】连接CP并延长交AB于D，P、C. D三点共线,，且，设，结合，得，由平面向量基本定理，解之得，且，可得，与有相同的底边AB，高的比等于与之比，的面积与面积之比为.故选：C.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.12在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，则的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】作出图形，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，在中用余弦定理解得AE，在中用面积公式求得面积，再乘以2可得【详解】如图所示，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，即，又因为，所以，设，则，在中由余弦定理得，即，解得，即.又，.故选：D.【点睛】本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.二、填空题13向量在向量上的投影是_.【答案】【解析】由向量投影的定义，结合平面向量的数量积公式，代入计算即可【详解】向量，向量在向量方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，考查向量的投影，考查计算能力，属于基础题.14若向量与向量的夹角是钝角，则实数m的取值范围是_.【答案】且【解析】由与的夹角是钝角可知，且与不共线，列出满足题意的式子求解即可.【详解】由题意：若向量与向量的夹角是钝角，则，且，解得且.故答案为：且.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，易错点为忽略与不共线的问题，属于常考题.15第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积，直角三角形中较大的锐角为，则_.【答案】【解析】设直角三角形的两直角边长为，则，解出，利用同角的三角函数公式即可得出.【详解】设直角三角形的两直角边长为，则，解得，.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数同角公式的应用，考查数形结合思想，属于常考题.16已知的内角满足，且所对的边分别为，则下列结论正确的是_.若，则为等边三角形；若，则为直角三角形；若，则；若，则为锐角三角形.【答案】【解析】利用等差数列的定义和三角形内角和定理即可判断出；利用余弦定理和勾股定理即可得出；利用数量积运算、向量运算的三角形法则和边角关系即可得出；利用两角和的正切公式和正切函数的单调性即可得出【详解】，又 ，解得，又，即，因此正确；，为直角三角形，因此正确；，又，所以，因此不正确；若，则 ，化为，可得A，C都为锐角，因此为锐角三角形，故正确.综上可知：正确.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理、勾股定理、三角形的内角和定理、正切函数的单调性、等差数列的性质等基础知识和基本技能，考查推理能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17已知向量在同一平面上，且（1）若，且，求向量的坐标；（2），且与平行，求与的夹角.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设，运用向量的模和向量垂直的条件得到关于x，y的方程，解方程即可得到所求向量的坐标；（2）由向量的加减运算和共线的坐标表示，解方程可得m，即有两向量的关系，进而得到所求夹角【详解】（1）设，且，则，解得，；或，即有或；（2），且与平行，即，可得，解得，可得，则与的夹角为.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查向量平行和垂直的应用，考查计算能力，属于常考题.18中，角的对边分别为， .（1）求的大小；（2）若，且边上的中线长为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：试题解析：解：（1）因为，所以由余弦定理可得， ，化简得，所以，因为，所以.（2）由（1）得， ，又因为在中， ，取中点，连结.因为，在中， ，所以，把代入，化简得，解得，或（舍去），所以.点睛：考察解三角形，要注意运用正余弦定理得边化角和角化边19已知海岛在海岛北偏东，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离【答案】（1）小时；（2）海里【解析】【详解】试题分析：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为小时，所以则物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里在中由正弦定理可求得的值（2）在中用余弦定理求，再根据二次函数求的最小值试题解析：解：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，中，由正弦定理得：，即，则（2）由（1）题设，由余弦定理得：，当时，海里【考点】1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值20在中，已知向量，且，记角的对边依次为.（1）求角C的大小；（2）若，且是锐角三