《计算机数值方法教学课件》第四章有限差分法的基本概念

第四章有限差分法的基本概念 4 1引言 4 2导数的差分近似方法 4 3差分方程 4 4显式和隐式差分格式 4 5差分格式的基本性质 4 6数值耗散与数值色散 4 1引言 1 离散化概念 计算域 控制方程 离散点 代数方程组 2 离散化网格 4 1引言 discretegrids 复杂外形网格生成 2 离散化网格 4 1引言 3 离散化过程 网格生成L u 0B u 0I u 0 4 1引言 4 有限数值模型 计算域离散化 因变量离散分布 反映同一的物理特性和信息分析离散带来的伪物理效应 4 1引言 4 有限数值模型 4 1引言 偏微分方程的离散方法 有限差分法FiniteDifferenceMethod FDM 有限体积法FiniteVolumeMethod FVM 有限元法FiniteElementMethod FEM 谱方法SpectralMethod 5 有限差分法 微商 差商 微分方程 差分方程 4 1引言 向前差分 前差 5 有限差分法 向后差分 后差 中心差分 中心差 4 1引言 离散对象 离散方法 离散结果 偏微分方程和定解条件 差商取代微商 有限节点值的有限个代数方程组的数值解 5 有限差分法 4 1引言 基本问题 判断方程的类型 选择合适的差分离散方法 对解域的选取和网格划分 方程和定解条件的离散 构造逼近微分方程定解问题的差分方程 解的合理性研究 5 有限差分法 4 1引言 解的精度 数值解的误差估计 解的收敛性及收敛速度 与偏微分方程的一致性 解的稳定性 对误差传播的敏感程度 解的结构研究 逼近真实解的形式 基本问题 解的合理性研究 差分余项效应数值耗散数值色散 5 有限差分法 4 1引言 4 2导数的差分近似方法 泰勒级数展开法待定系数法差分算子法 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 截断误差 一阶精度 一阶精度 空间前差 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 时间前差 一阶精度 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 一阶精度 空间后差 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 一阶精度 时间后差 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 二阶精度 空间中心差分 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 二阶偏导数 二阶精度 空间中心差分 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 二阶偏导数 二阶精度 空间中心差分 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 二阶偏导数 二阶精度 空间中心差分 1 泰勒级数展开法 4 2导数的差分近似方法 二阶偏导数 2 待定系数法 4 2导数的差分近似方法 四阶精度五点中心差 二阶精度三点后差 二阶精度三点中心差 二阶精度 空间三点后差 1 待定系数法 4 2导数的差分近似方法 一阶偏导数 3 差分算子法 4 2导数的差分近似方法 4 2导数的差分近似方法 3 差分算子法 例1 E 例2 例3 Dand Dand Dand 3 差分算子法 应用 1 构造高阶差分格式 2 求解截断误差 习题 P1154 6 4 2导数的差分近似方法 4 3差分方程 偏微分方程 代数方程组 1 判断控制方程数学性质 2 网格生成 3 控制方程初始条件边界条件 代数方程组 4 3差分方程 4 求解代数方程组 5 解的合理性分析 相容性收敛性稳定性 网格效应差分余项效应伪物理效应 宏观特性 微观特性 4 3差分方程 差分离散FTCS 时间前差空间中心差分格式 4 3差分方程 微分方程 差分方程 截断误差 时间前差空间后差格式 FTBS 时间前差空间前差格式 FTFS 4 3差分方程 时间前差空间中心差分格式 Lax Wendroff格式 4 3差分方程 时间前差空间后差格式 FTBS 4 3差分方程 相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异 问题 4 3差分方程 精确解 计算域 4 3差分方程 FTBS格式 FTFS格式 4 3差分方程 FTFS格式 4 3差分方程 FTBS格式 4 3差分方程 现象 一阶精度FTFS格式的数值解发散 导致计算无法运行下去 4 3差分方程 FTBS格式 FTFS格式 4 3差分方程 特征线 4 3差分方程 FTBS 差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息 4 3差分方程 相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异 同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异 问题 4 3差分方程 时间前差空间后差格式 FTBS 和 4 3差分方程 FTBS格式 4 3差分方程 FTBS格式 4 3差分方程 现象 一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制 4 3差分方程 相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异 同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异 问题 一阶精度格式和二阶精度格式的数值解与解析解的差异 4 3差分方程 FTBS格式 Lax Wendroff格式 空间一阶精度 空间二阶精度 4 3差分方程 FTBS格式 空间一阶精度 FTBS格式 数值耗散 4 3差分方程 Lax Wendroff格式 空间二阶精度 Lax Wendroff格式 数值色散 4 3差分方程 现象 一阶精度格式产生数值耗散效应 二阶精度格式产生数值色散效应 4 3差分方程 小结 差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息 需分析离散所带来的伪物理效应的表现及其控制 4 3差分方程 4 3差分方程 习题 求出方程 下述差分格式的截断误差 4 4显式和隐式差分格式 1 显式差分格式 离散化 解域离散 方程离散 初 边条离散 4 4显式和隐式差分格式 1 显式差分格式 差分格式 4 4显式和隐式差分格式 1 显式差分格式 4 4显式和隐式差分格式 2 隐式差分格式 Crank Nicolson格式 4 4显式和隐式差分格式 2 隐式差分格式 Crank Nicolson格式 4 4显式和隐式差分格式 3 对比 例 FTCS 4 4显式和隐式差分格式 3 对比 i 4 3 2 101234 n 0 0000 0000 n 1 000 000 n 2 00 2 3 2 00 n 3 0 3 6 7 6 3 0 4 5差分格式的基本性质 1 差分格式的精度 截断误差 精度 时间 阶 空间 阶 2 三种类型的解 偏微分方程精确解差分方程精确解差分方程数值近似解 实际误差 4 5差分格式的基本性质 2 三种类型的解 实际误差 离散误差 舍入误差 4 5差分格式的基本性质 3 宏观特性 ii 收敛性 iii 稳定性 i 相容性 4 5差分格式的基本性质 时间前差空间后差格式 FTBS 和 例1 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 精确解 计算域 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 FTBS格式 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 FTBS格式 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 现象 一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 FTCS CTCS 例2 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 i 4 3 2 101234 n 0 0000 0000 n 1 000 000 n 2 00 2 3 2 00 n 3 0 3 6 7 6 3 0 4 差分格式的稳定性分析 i 0123 n 3 n 2 n 1 n n 1 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 VonNeumann方法 傅利叶级数 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 VonNeumann方法 4 差分格式的稳定性分析 VonNeumann方法 傅利叶级数 舍入误差 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 舍入误差 VonNeumann准则 放大因子 VonNeumann条件是初边值问题稳定的必要条件 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 FTCS格式Richardson格式Crank Nicolson格式 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 VonNeumann方法 例 热传导方程 FTCS格式 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 VonNeumann方法 例 热传导方程 稳定性条件 Richardson格式 CTCS 绝对不稳定 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 VonNeumann方法 例 热传导方程 稳定性条件 Crank Nicolson格式 稳定性条件 绝对稳定 4 差分格式的稳定性分析 4 5差分格式的基本性质 VonNeumann方法 例 热传导方程 习题 下述差分格式的稳定性条件 利用VonNeumann方法分析方程 4 5差分格式的基本性质 4 6数值耗散与数值色散 1 修正方程 差分方程实际上所准确逼近的微分方程 称为该差分方程的修正方程 通常要求在修正方程中不包含有对时间的高阶导数项 修正方程是差分方程的微分表达式 例1 FTCS差分格式 修正方程 4 6数值耗散与数值色散 1 修正方程 例2 FTBS差分格式 修正方程 4 6数值耗散与数值色散 1 修正方程 修正方程 4 6数值耗散与数值色散 1 修正方程 FTBS格式 Lax Wendroff格式 空间一阶精度 空间二阶精度 例 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 精确解 计算域 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 FTBS格式 空间一阶精度 FTBS格式 数值耗散效应 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 Lax Wendroff格式 空间二阶精度 Lax Wendroff格式 数值色散效应 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 现象 一阶精度格式产生数值耗散效应 二阶精度格式产生数值色散效应 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 微分方程精确解 FTBS差分格式 差分方程精确解 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 微分方程精确解 差分方程精确解 波速 波幅 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 数值色散 数值耗散 奇阶项效应 偶阶项效应 修正方程 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 x u t x u t t1 t1 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 耗散 色散 波的振幅发生变化 波的相位发生变化 2 差分方程数值解的性质 4 6数值耗散与数值色散 正耗散 负耗散 数值耗散效应 3 数值耗散 4 6数值耗散与数值色散 数值耗散效应 3 数值耗散 4 6数值耗散与数值色散 数值粘性 耗散现象 精确解 数值耗散效应 3 数值耗散 4 6数值耗散与数值色散 色散现象 精确解 数值色散效应 4 数值色散 4 6数值耗散与数值色散 色散现象 精确解 数值色散效应 4 数值色散 4 6数值耗散与数值色散 修正方程 人工粘性