jsh第二章控制系统的数学模型.ppt

1 第一章要点回顾 定性知识 自动控制系统的基本概念反馈控制系统的基本组成 原理方框图自动控制系统的基本控制方式自动控制系统的分类自动控制系统的基本要求典型输入信号 2 第二章控制系统的数学模型 2 1引言2 2时域数学模型2 3复数域数学模型2 4结构图 信号流图与梅逊公式2 5反馈控制系统的传递函数 千里之行 始于足下 3 2 1引言 一 数学模型1 定义 系统的数学模型是描述系统输入 输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达 数学模型是分析和设计自动控制系统的基础 2 为什么要建立数学模型 我们需要了解系统的具体的性能指标 只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的 希望能够从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算 要做到这一点 首先要建立系统的数学模型 它是分析和设计系统的依据 另一个原因 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统 其运动规律可能完全一样 可以用一个运动方程来表示 我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式 即可知其变量间的关系 这种关系可代表数学表达式相同的任何系统 因此需建立控制系统的数学模型 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析 具有相同的数学模型 4 二 物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的 难以对它作出精确 全面的描述 必须进行简化或理想化 简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型 简化是有条件的 要根据问题的性质和求解的精确要求 来确定出合理的物理模型 电子放大器看成理想的线性放大环节 通讯卫星看成质点 5 三 数学模型的几种表示方式 微分方程 同一个系统 可以选用不同的数学模型 研究时域响应时须用时域模型 研究频域响应时则要用频率特性 传递函数 6 四 建立数学模型的方法 目前工程上采用的方法主要是a 分析计算法 机理建模 解析 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律 物理规律 化学规律等 以及系统的结构和参数 推导出输入量和输出量之间的数学表达式 从而建立数学模型 适用于简单的系统b 工程实验法 实验建模 辨识 它是利用系统的输入 输出信号来建立数学模型的方法 通常在对系统一无所知的情况下 采用这种建模方法 7 但实际上有的系统还是了解一部分的 这时称为灰盒 可以分析计算法与工程实验法一起用 较准确而方便地建立系统的数学模型 理论上 没有一个数学表达式能够准确 绝对准确 地描述一个系统 因为 理论上任何一个系统都是非线性的 时变的和分布参数的 都存在随机因素 系统越复杂 情况也越复杂 而实际工程中 为了简化问题 常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略 抓住主要问题进行建模 进行定量分析 也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 不能过于简化 而使数学模型变的不准确 也不能过分追求准确性 使系统的数学模型过于复杂 8 分析法建立系统数学模型的几个步骤 建立物理模型 列写原始方程 利用适当的物理 化学规律 如牛顿定律 基尔霍夫电流和电压定律 能量守恒定律等 选定系统的输入量 输出量及状态变量 仅在建立状态模型时要求 消去中间变量 建立适当的输入输出模型或状态空间模型 9 实验法 基于系统辨识的建模方法 已知知识和辨识目的实验设计 选择实验条件模型阶次 适合于应用的适当的阶次参数估计 最小二乘法模型验证 将实际输出与模型的计算输出进行比较 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近 10 2 2微分方程模型 时域模型 2 2 1建立微分方程模型 最基本数学模型 的基本步骤 在实际应用中 绝大多数控制系统在一定的限制条件下 都可以用线性微分方程来描述 1 分析系统的工作原理 确定系统 各元件的输入输出物理量 2 根据物理定律或化学定律 机理 列出各元件或环节的原始方程 在条件允许的情况下忽略次要因素 适当简化 3 消去中间变量 写出输入 输出变量的微分方程 4 标准化 11 2 2 2例题解析 图2 1为由一RC组成的四端无源网络 试列写以U1 t 为输入量 U2 t 为输出量的网络微分方程 例2 1电路网络 12 由 得 解 设回路电流i1 i2 根据克希霍夫定律 列写方程如下 13 由 导出 将i1 i2代入 则得 14 这就是RC组成的四端网络的数学模型 是一个二阶线性微分方程 15 注意 整个电路虽然是由两个RC电路所组成 但不能把它看作是两个独立的RC电路的连接 因为第二级电路的i2要影响第一级电路的uc1 列写方程式应考虑这个影响 这种后一级对前一级的影响叫做负载效应 存在负载效应时 必须把全部元件作为整体来加以考虑 本例若不考虑负载效应时 有 消去中间变量得 第一级得 第二级显然 与前面得到的结果不同 16 试证明图2 2 a b 所示的机 电系统是相似系统 即两系统具有相同的数学模型 例2 2机电系统 17 对电气网络 b 列写电路方程如下 解 对机械网络 a 输入为Xr 输出为Xc 根据力平衡 可列出其运动方程式 18 利用 求出代入 将 两边微分得 19 力 电相似 机系统 a 和电系统 b 具有相同的数学模型 故这些物理系统为相似系统 即电系统为即系统的等效网络 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系 由此可见利用数学模型研究控制系统的重要性 方便性 另外 用电气系统模拟机械系统进行实验研究也是工程中的常用方法 因为一般来说 电的或电子的系统更容易通过试验进行研究 就系统理论而言 可以撇开系统的具体属性进行普遍意义的分析和研究 20 图2 3所示为电枢控制直流电动机的微分方程 要求取电枢电压Ua t v 为输入量 电动机转速 m t rad s 为输出量 列写微分方程 图中Ra La H 分别是电枢电路的电阻和电感 Mc N M 是折合到电动机轴上的总负载转距 激磁磁通为常值 例2 3电动机系统 21 解 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能 也就是由输入的电枢电压Ua t 在电枢回路中产生电枢电流ia t 再由电流ia t 与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm t 从而拖动负载运动 因此 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成 1 电枢回路电压平衡方程 2 电磁转距方程 3 电动机轴上的转距平衡方程 22 电枢回路电压平衡方程 Ea是电枢反电势 它是当电枢旋转时产生的反电势 其大小与激磁磁通及转速成正比 方向与电枢电压Ua t 相反 即Ea Ce m t Ce 反电势系数 v rad s 23 电磁转距方程 电动机转距系数 N m A 是电动机转距系数 是由电枢电流产生的电磁转距 N m 电动机轴上的转距平衡方程 Jm 转动惯量 电动机和负载折合到电动机轴上的 kg m fm 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 N m rad s 24 求出ia t 代入 同时 亦代入 得 在工程应用中 由于电枢电路电感La较小 通常忽略不计 因而 可简化为 电动机机电时间常数 s 25 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为 电动机的转速与电枢电压成正比 于是电动机可作为测速发电机使用 26 例2 4 速度控制系统 复杂系统 27 建立一个复杂的控制系统的数学模型 重要是分析构成系统的各个环节 以及环节间的耦合 有无负载效应 在无负载效应的情况下 先列写各环节的数学模型 最后整理得系统得数学模型 对于该系统 构成系统的各环节如上图所示 各环节得数学模型为 运算放大器 运算放大器 功率放大器直流电动机齿轮系测速发电机 28 将上述方程消除中间变量整理后便得到该控制系统的微分方程 29 2 2 3线性系统的特性1 定义 如果系统的数学模型是线性微分方程 这样的系统就是线性系统 线性元件 具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件 非线性元件 不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件 如果元件输入为r t r1 t r2 t 对应的输出为c t c1 t c2 t 如果r t r1 t r2 t 时 c t c1 t c2 t 满足迭加性如果r t a r1 t 时 c t a c1 t 满足齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件 30 2 重要特点 对线性系统可以应用迭加性和齐次性 对研究带来了极大的方便 迭加性的应用 欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应 只要对这几个外作用单独求响应 然后加起来就是总响应 齐次性表明 当外作用的数值增大若干倍时 其响应的数值也增加若干倍 这样 我们可以采用单位典型外作用 单位阶跃 单位脉冲 单位斜坡等 对系统进行分析 简化了问题 31 2 2 4线性微分方程的求解方法两种 经典法和拉氏变换法 拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为 1 考虑初始条件 对每一项进行拉氏变换 转换为变量s的代数方程 2 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式 3 对输出量拉氏变换函数求反变换 得到输出量的时域表达式 即微分方程的解 32 2 2 5非线性微分方程的线性化严格地说 实际物理元件或系统都是非线性的 如 弹簧的刚度与其形变有关 弹性系数K与位移x有关 且非常值 电阻 电容 电感等值也与周围环境及经过它们的电流有关 电动机本身的摩擦 死区等非线性因素也存在 常用两种处理方法 忽略非线性取常值切线法或小偏差法在工程实践中 控制系统都有一个额定的工作状态和工作点 当变量在工作点附近作小范围的变化 且变量在给定的区域间有各阶导数时 便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数 忽略级数中高阶无穷小项后 就可得到只包含偏差的一次项的线性方程 这种线性化方法称为小偏差法 33 设一个变量的连续非线性函数y f x 在x0处连续可微 则可将它在该点附件用台劳级数展开 增量较小时略去其高次幂项 则有 令 y k xk比例系数 函数在x0点切线的斜率 34 两个变量的非线性函数y f x1 x2 同样可在某工作点 x10 x20 附近用台劳级数展开为 35 略去二级以上导数项 并令 y y f x10 x20 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的 平衡点附近 偏差一般不会很大 都是 小偏差点 在线性化处理时要注意以下几点 1 线性化方程中的参数 如上面的 与选择的工作点有关 工作点不同相应的参数也不同 因此处理时 首先应确定工作点 2 在线性化过程中 略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项 如果实际系统中输入量变化范围较大时 采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差 3 如果描述非线性特性的函数具有间断点 折断点或非单值关系而无法作线性化处理时 则控制系统只能应用非线性理论来研究 4 线性化后的微分方程通常是增量方程 在应用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量 36 10 y 12上线性化 求用线性化方程来计算当x 5 y 10时z值所产生的误差 解 由于研究的区域为5 x 7 10 y 12 故选择工作点x0 6 y0 11 于是z0 x0y0 6 11 66 求在点x0 6 y0 11 z0 66附近非线性方程的线性化表达式 将非线性方程在点x0 y0 z0处展开成泰勒级数 并忽略其高阶项 则有 因此 线性化方程式为 z 66 11 x 6 6 y 11 z 11x 6y 66当x 5 y 10时 z的精确值为z xy 5 10 50由线性化方程求得的z值为z 11x 6y 55 60 66 49 因此 误差为50 49 1 表示成百分数 例2 5 试把非线性方程z xy在区域5 x 7 37 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 1 拉氏变换定义设函数f t 满足 t0时 f t 分段连续则f t 的拉氏变换存在 其表达式记作f t 称为F s 的拉氏逆变换 记为 拉氏变换基本定理 线性定理 38 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和 微分性质若 则有f 0 为原函数f t 在t 0时的初始值 证 根据拉氏变换的定义有原函数二阶导数的拉氏变换依次类推 可以得到原函数n阶导数的拉氏变换 39 3 积分性质若则式中为积分当t 0时的值 证 设则有由上述微分定理 有 40 即 同理 对f t 的二重积分的拉氏变换为若原函数f t 及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f t 的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以 41 4 终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值 证 由微分定理 有等式两边对s趋向于0取极限 42 注 若时f t 极限不存在 则不能用终值定理 如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理 5 初值定理 证明方法同上 只是要将取极限 6 位移定理 a 实域中的位移定理 若原函数在时间上延迟 则其象函数应乘以 43 b 复域中的位移定理 象函数的自变量延迟a 原函数应乘以即 7 时间比例尺定理原函数在时间上收缩 或展宽 若干倍 则象函数及其自变量都增加 或减小 同样倍数 即 证 44 8 卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积 即证明 45 46 常用函数的拉氏变换 1 例1 求阶跃函数f t A 1 t 的拉氏变换 单位阶跃函数f t 1 t 的拉氏变换为 2 例2 求单位脉冲函数f t t 的拉氏变换 47 3 例3 求指数函数f t 的拉氏变换几个重要的拉氏变换 48 拉氏反变换1 定义 从象函数F s 求原函数f t 的运算称为拉氏反变换 记为 由F s 可按下式求出式中是实常数 而且大于F s 所有极点的实部 直接按上式求原函数太复杂 一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换 但F s 必须是一种能直接查到的原函数的形式 49 若F s 不能在表中直接找到原函数 则需要将F s 展开成若干部分分式之和 而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到 例1 例2求的逆变换 解 50 例3 51 2 拉式反变换 部分分式展开式的求法 1 情况一 F s 有不同极点 这时 F s 总能展开成如下简单的部分分式之和 52 53 54 2 情况2 F s 有共轭极点例2 求解微分方程 55 3 情况3 F s 有重极点 假若F s 有L重极点 而其余极点均不相同 那么 56 57 58 59 如果不记公式 可用以下方法求解 也可得解 60 2 3控制系统的复数域数学模型2 3 1传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型 在给定外作用和初始条件下 解微分方程可以得到系统的输出响应 并可通过响应曲线直观地反映出系统的动态过程 但系统的参数或结构形式有变化 微分方程及其解都会同时变化 不便于对系统进行分析与研究 用拉氏变化法求解微分方程时 可以得到控制系统在复数域的数学模型 传递函数 1 定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初使条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 三要素 线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比 复数域模型 61 式中c t 是系统输出量 r t 是系统输入量 和是与系统结构和参数有关的常系数 设r t 和c t 及其各阶系数在t 0是的值均为零 即零初始条件 则对上式中各项分别求拉氏变换 并令R s L c t R s L r t 可得s的代数方程为 于是 由定义得系统传递函数为 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述 62 求例机械系统与电路网络的传递函数和解 机械系统传递函数 电系统的传递函数 63 2 性质性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数 m n是一切物理系统所固有的 这是因为任何物理系统均含有惯性 且所具有复变量函数的所有性质 性质2G s 取决于系统或元件的结构和参数 与输入量的形式 幅度与大小 和初始条件无关 可见传递函数有效地描述了系统的固有特性 性质3只能描述线性定常系统与单输入单输出系统 且内部许多中间变量的变化情况无法反映 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出 不能反映非零初始条件引起的输出 64 性质4G s 虽然描述了输出与输入之间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构 因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数性质5如果G s 已知 那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应 性质6如果系统的G s 未知 可以给系统加上已知的输入 研究其输出 从而得出传递函数 一旦建立G s 可以给出该系统动态特性的完整描述 与其它物理描述不同 性质7传递函数与微分方程之间有关系 65 性质8传递函数G s 的拉氏反变换是脉冲响应g t 脉冲响应 脉冲过渡函数 g t 是系统在单位脉冲输入时的输出响应 在例2 1中 设当输入为单位阶跃函数 即时 求零初始条件下的输出解 根据例2 1得到的微分方程 66 2 3 2传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数分子和分母多项式分解后可写如下形式 特征多项式 特征方程n阶系统 67 零点距极点的距离越远 该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近 该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合 该极点所产生的模态为零 因为分子分母相互抵消 教材47页 68 2 3 3典型元部件的传递函数 自动控制系统是有各种元部件相互连接组成的 他们一般是机械的 电子的 液压的 光学的或其他类型的装置 电位器 将线位移或角位移变换为电压量的装置 单个电位器用作为信号变换装置 图2 8电位器 69 单位角位移 输出电压 v rad E 电位器电源 v 电位器最大工作角 rad 其它元件 测速发电机 电动机 无源网络 水槽 电加热炉等等详见教材47 54页 70 2 3 4典型环节及其传递函数一个物理系统是由许多元件组合而成的 虽然元件的结构和作用原理多种多样 但若考察其数学模型 却可以划分成为数不多的几种基本类型 称之为典型环节 这些环节是比例环节 惯性环节 积分环节 振荡环节 微分环节和滞后环节 1比例环节 式中K 增益特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 实例 电子放大器 齿轮 电阻 电位器 感应式变送器等 2惯性环节 71 式中T 时间常数特点 含一个储能元件 对突变的输入 其输出不能立即复现 输出无振荡 实例 图2 4所示的RC网络 直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节 3微分环节 理想微分一阶微分二阶微分 特点 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 实例 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节 72 4积分环节 特点 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 实例 电动机角速度与角度间的传递函数 模拟计算机中的积分器等 5振荡环节 式中 阻尼比 自然振荡角频率 无阻尼振荡角频率 特点 环节中有两个独立的储能元件 并可进行能量交换 其输出出现振荡 实例 RLC电路的输出与输入电压间的传递函数 73 6纯时间延时环节 式中 延迟时间特点 输出量能准确复现输入量 但须延迟一固定的时间间隔 实例 管道压力 流量等物理量的控制 其数学模型就包含有延迟环节 74 上述各典型环节 是从数学模型的角度来划分的 它们是系统传递函数的最基本的构成因子 在和实际元件相联系时 应注意以下几点 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的 他与系统中使用的元件并非都是一一对应的 一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合 而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型 同一装置 元件 如果选取的输入 输出量不同 它可以成为不同的典型环节 如直流电动机量不同 以电枢电压为输入 转速为输出时 它是一个二阶振荡环节 但若以电枢电流为输入 转速为输出时 它却是一个积分环节 75 在分析和设计系统时 将被控对象 或系统 的数学模型进行分解 就可以了解它是由哪些典型环节组成的 因而 掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统 既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型 那么控制系统的传递函数也可以写成如下一般形式 76 一对电位器可组成误差检测器 K1是单个电位器的传递系统 是两个电位器电刷角位移之差 称误差角 电位器的负载效应 一般要求 77 测速发电机 测量角速度并将它转换成电压量的装置 转子角速度 rad s 输出斜率 v rad s 直流测速发电机交流测速发电机 78 可视为负载扰动转矩 根据线性系统的叠加原理 分别求 到 和 到 的传递函数 0 由传递函数定义 在例2 3中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为 电枢控制直流伺服电动机 A令 B令 为电枢电压作用下的转速特性 为负载转矩作用下的转速特性 79 两相伺服电动机两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成 定子线圈的一相是激磁绕组 另一相是控制绕组 通常接在功率放大器的输出端 提供数值和极性可变的交流控制电压 80 两相伺服电动机的转矩 速度特性曲线有负的斜率 且呈非线性 图2 13 b 是在不同控制电压时 实验测取的一组机械特性曲线 考虑到在控制系统中 伺服电动机一般工作在零转速附近 作为线性化的一种方法 通常把低速部分的线性段延伸到高速范围 用低速直线近似代替非线性特性 此外 也可用小偏差线性化方法 81 一般 两厢伺服电动机机械特性的线性化方程可表示为 其中 可用额定电压 时的堵转转矩确定 即 如不考虑负载转矩 则电动机输出转矩用来驱动负载并克服粘性摩擦 故得转矩平衡方程为 82 化简得 取拉氏变换 83 与直流电动机得传递函数在形式上完全相同 电枢控制式直流电动机 常应用在输出功率比较大的控制系统中 其效率比两相交流电动机的效率要高得多 两相伺服电动机 常应用在仪表随动系统中 功率范围在零点几瓦至100瓦 84 2 4控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式 控制系统的结构图 信号流图模型是控制系统的又一种数学模型 是描述复杂系统的一种简便方法 将系统各元件传递函数 系统结构和工作原理集于一起的图解表示方法 其特点 具有图示模型的直观 具有数学模型的精确 结构图具有数学性质 可以进行代数运算和等效变换 是计算系统传递函数的有力工具 应用非常普遍 信号流图符号简单 便于绘制 应用梅逊公式可直接求传递函数 85 2 4 1结构图组成元素 1 方块 方框 环节 BlockDiagram 表示输入到输出单向传输间的函数关系 2 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的流向 且信号只单向传输 在直线旁标记信号的时间函数r t 或象函数R s 3 比较点 合成点 综合点 SummingPoint两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 86 注意 进行相加减的量 必须具有相同的量刚 表示相加 表示相减 号可省略不写 注意 同一位置引出的信号大小和性质完全一样 如果已知系统的组成和各组成部分的传递函数 就可以通过上述四种基本单元 将系统各部分连接起来 构成整个系统的结构图 4 分支点 引出点 测量点 BranchPoint表示信号测量或引出的位置 87 2 4 2结构图的绘制与微分方程模型的建立类似 1 考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数 建立方程时应分清输入 输出量 并将它们用方框 块 表示 2 在零初始条件下 对各微分方程进行拉氏变换 并将变换式写成标准形式 3 由标准变换式利用结构图的四个基本单元 分别画出各元部件的结构图 4 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将各方块连接起来 便可得到系统的结构图 注意 结构图 基于零初始条件的 结构图中方框和实际系统的元部件并非一一对应 88 图2 17一阶RC网络 解 由图2 17 利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得 对其进行拉氏变换得 例2 6 画出下列RC电路的结构图 89 将图 b 和 c 组合起来即得到图 d 图 d 为该一阶RC网络的结构图 90 解 1 根据电路定理列出方程 写出对应的拉氏变换 也可直接画出该电路的运算电路图如图 b 2 根据列出的4个式子作出对应的框图 3 根据信号的流向将各方框依次连接起来 画出下列R C网络的结构图 例2 7 91 92 如果在这两级R C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器 如图2 22所示 则此电路的结构图如图 b 所示 b 问题 与前一网络相比 有什么区别 93 2 4 3结构图的化简 等效变换 为了由系统的结构图方便地写出它的闭环传递函数 通常需要对结构图进行等效变换 结构图的等效变换必须遵守一个原则 变换前后各变量之间的传递函数保持不变 即 前向通道中传函乘积保持不变 回路传函乘积不变 在控制系统中 任何复杂系统主要由各环节的方框经串联 并联和反馈三种典型结构连接而成 三种典型结构的等效法则一定要熟练掌握 94 结构图等效变换方法 1三种典型结构可直接用公式2相邻比较点可互换位置 可合并 相邻引出点可互换位置 可合并 负号只能在支路上移动 不能越过比较点和引出点 注意事项 1不是典型结构不可直接用公式2相邻的引出点和比较点 不可互换位置 95 结论 串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积 n为相串联的环节数 特点 前一环节的输出量就是后一环节的输入量 在考虑两环节是否为串联时要注意以下两点 环节之间应无负载效应 否则要考虑将它们作为一个整体 而不能分为两个独立的部分 串联连接的环节之间应无分支点和综合点 否则它们就不是串联 96 特点 各环节的输入信号是相同的 均为R s 输出C s 为各环节的输出之和 即 2 并联连接 97 结论 并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和 n为相并联的环节数 当然还有 的情况 98 图2 25环节的反馈连接 3 反馈连接 这是个单回路的闭环形式 反馈可能是负 可能是正 问题 如何推导 99 以后我们均采用 s 表示闭环传递函数 负反馈时 s 的分母为1 回路传递函数 分子是前向通路传递函数 正反馈时 s 的分母为1 回路传递函数 分子为前向通路传递函数 问题 单位负反馈时 其闭环传函为 100 4 比较点和分支点 引出点 的移动 有关移动中 前 后 的定义 按信号流向定义 也即信号从 前面 流向 后面 而不是位置上的前后 图2 26比较点移动示意图 101 比较点移动 向同类移动 102 图2 27分支点移动示意图 103 引出点移动 a b 104 作用分解 105 用结构图的等效法则 求图2 28所示系统的传递函数C s R s 解 这是一个具有交叉反馈的多回路系统 如果不对它作适当的变换 就难以应用串联 并联和反馈连接的等效变换公式进行化简 本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点 化简后 再后移至C点 然后从内环到外环逐步化简 例2 8 图2 28 106 反馈公式 串联和并联 107 将例2 7的系统方块图简化 例2 9 108 图2 29方块图的简化过程 简化提示 分支点A后移比较点B前移比较点1和2交换 109 2 4 4信号流图和梅逊公式 S J Mason 结构图是一种很有用的图示法 对于复杂的控制系统 结构图的简化过程仍较复杂 且易出错 Mason提出的信号流图 既能表示系统的特点 而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数 因此 信号流图在控制工程中也被广泛地应用 一信号流图中的术语 110 输入节点 输出节点 阱 坑 混合节点 111 前向通路上各支路增益之乘积 称为前向通路总增益用表示 前向通路 开始于输入节点 沿支路箭头方向 每个节点只经过一次 最终到达输出节点的通路称之前向通路 112 回路 闭通路 起点和终点在同一节点 并与其它节点相遇仅一次的通路 回路中所有支路的乘积称为回路增益 用表示 113 不接触回路 回路之间没有公共节点时 这种回路叫做不接触回路 在信号流图中 可以有两个或两个以上不接触回路 例如 和 和 114 二信号流图的绘制 由微分方程绘制方程 这与画结构图差不多 由系统结构图绘制 书上例2 24 见书P68画出图2 31 书图2 45 所示系统结构图的信号流图 图2 31系统方块图 解 用小圆圈表示各变量对应的节点 在比较点之后的引出点 只需在比较点后设置一个节点便可 也即可以与它前面的比较点共用一个节点 在比较点之前的引出点B 需设置两个节点 分别表示引出点和比较点 注意图中的 例2 10 115 Pk 从R s 到C s 的第k条前向通路传递函数 三 梅逊公式介绍 1 La LbLc LdLeLf 其中 求法 116 求图2 33 a 所示信号流图的总增益 例2 11 117 118 利用Mason sgainformula求图2 34所示系统的闭环传递函数 解 前向通路有3个 图2 34某系统的信号流图 例2 12 119 4个单独回路 互不接触回路 120 由上述例题可见 用梅逊公式直接求出系统的传递函数比用结构图简化的方法要方便得多 特别是对复杂的多环系统更显出其优越性 不过 初学者往往在计算 Pk和 k时容易少算回路