1.4角平分线的性质

第1章直角三角形1 4角平分线的性质第1课时角平分线的性质 1 湘教版八年级数学下册 1 点到直线距离 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度 叫做点到直线的距离 如图 线段PO的长度叫点P到直线AB的距离 2 角平分线的定义 从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 如图 射线OC是 AOB的平分线 如图 在纸上画一个角 AOB 1 用折叠法画出 AOB的平分线 2 在 AOB的平分线OC上任取一点P 过点P作PD OA PE OB 垂足分别为点D E 试问PD与PE相等吗 将 AOB沿OC对折 PD与PE会重合 即PD PE 你能证明吗 证明 PD OA PE OB PDO PEO 90 在 PDO和 PEO中 PD PE PDO PEO AAS 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 由此得到角平分线的性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 1 2PD OA PE OB PD PE 角平分线的性质定理 推理的理由有三个 必须写完全 不能少了任何一个 定理的作用 证明线段相等 如图 点P在 AOB的内部 作PD OA PE OB 垂足分别为点D E 若PD PE 那么点P在 AOB的平分线上吗 分析 只要画射线OP 证明OP平分 AOB即可 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗 证明 过点O P作射线OC PD OA PE OB PDO PEO 90 在 PDO和 PEO中 OC是 AOB的平分线 Rt PDO Rt PEO HL AOC BOC 即点P AOB的平分线OC上 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 由此得到角平分线的性质定理的逆定理 用几何语言表示为 PD PEPD OA PE OB 1 2 即点P在 AOB的平分线OC上 角平分线的性质定理的逆定理 推理的理由有三个 必须写完全 不能少了任何一个 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 定理的作用 证明点的位置 判定定理 性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 如图 PD OA PE OB 点P在 AOB的平分线上 PD PE 例1如图 BAD BCD 90 1 2 1 求证 点B在 ADC的平分线上 2 求证 BD是 ABC的平分线 思考 AC被BD垂直平分吗 举例 证明 1 在 ABC中 1 2 BA BC 又 BA AD BC CD 点B在 ADC的平分线上 2 在Rt BAD和Rt BCD中 BA BC BD BD Rt BAD Rt BCD HL ABD CBD BD是 ABC的平分线 1 如图 在直线MN上求作一点P 使P点到 AOB两边的距离相等 O A B M N 2 如图 在 ABC中 AD平分 BAC DE AB DF AC 垂足分别是E F BD CD 求证 AB AC 1 如左下图 DE AB DF BC 垂足分别是E F DE DF EDB 60 则 EBF 度 BE 60 BF 随堂练习 2 如图 ABC中 C 90 DE AB 1 2 且AC 6cm 那么线段BE是 ABC的 AE DE 角平分线 6cm 驶向胜利的彼岸 3 如图 AD AE分别是 ABC中 A的内角平分线外角平分线 它们有什么关系 老师期望 你能说出结论并能证明它 4 如图 在Rt ABC中 C 90 BD平分 ABC BD 5 BC 4 则点D到A