高数第九章(7)方向导数与梯度

第九章 第七节 一 方向导数 机动目录上页下页返回结束 二 梯度 三 物理意义 方向导数与梯度 回顾 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 机动目录上页下页返回结束 对y轴的 一 方向导数 定义 若函数 在点 处 沿方向l 方向角为 机动目录上页下页返回结束 存在下列极限 记作 则称 为函数在点P处沿方向l的方向导数 特别 当l与x轴同向 当l与x轴反向 定理 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 证明 由函数 且有 在点P可微 得 机动目录上页下页返回结束 故 三元函数的方向导数 定义 若函数 则称 为函数在点P处沿方向l的方向导数 在点 处 沿方向l 方向角为 存在下列极限 机动目录上页下页返回结束 记作 定理 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 证明 由函数 且有 在点P可微 得 机动目录上页下页返回结束 故 例1 求函数 在点P 1 1 1 沿向量 3 的方向导数 机动目录上页下页返回结束 例2 求函数 在点P 2 3 沿曲线 朝x增大方向的方向导数 解 将已知曲线用参数方程表示为 它在点P的切向量为 机动目录上页下页返回结束 例3 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 机动目录上页下页返回结束 二 梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 方向导数取最大值 机动目录上页下页返回结束 1 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数f P 在点P处的梯度 记作 gradient 在点 处的梯度 机动目录上页下页返回结束 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 向量 2 梯度的几何意义 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 机动目录上页下页返回结束 称为函数f的等值线 则L 上点P处的法向量为 同样 对应函数 有等值面 等量面 当各偏导数不同时为零时 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向 结论 等高线的画法 播放 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 例如 梯度与等高线的关系 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 3 梯度的基本运算公式 机动目录上页下页返回结束 例4 证 试证 机动目录上页下页返回结束 三 物理意义 函数 数量场 数性函数 场 向量场 矢性函数 可微函数 梯度场 势 如 温度场 电位场等 如 力场 速度场等 向量场 注意 任意一个向量场不一定是梯度场 机动目录上页下页返回结束 例 例5 已知位于坐标原点的点电荷q在任意点 试证 证 利用例4的结果 这说明场强 处所产生的电位为 垂直于等位面 且指向电位减少的方向 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 方向导数 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向l 方向角为 机动目录上页下页返回结束 2 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点 处的梯度为 3 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设函数 1 求函数在点M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数 2 求函数在M 1 1 1 处的梯度与 1 中切线方向 的夹角 2 P131题16 机动目录上页下页返回结束 曲线 1 1 在点 解答提示 机动目录上页下页返回结束 M 1 1 1 处切线的方向向量 机动目录上页下页返回结束 2 P131题16 P1082 3 7 9 10 作业 第八节目录上页下页返回结束 备用题1 函数 在点 处的梯度 解 则 注意x y z具有轮