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文档简介

专升本高等数学 第6讲定积分的应用 本讲出题在7 8分之间 一般考平面图形的面积和旋转体体积 以计算题出现较多 本讲重点 1 定积分的几何意义的理解 2 图形的准确画出 本讲难点 微元法中的元素和积分上下限的确定 考试点津 2011年河南专升本试题 6 1 1定积分应用的微元法 6 1 2用定积分求平面图形的面积 图6 1 1 图6 1 2 图6 1 3图6 1 4 图6 1 5 例2 计算抛物线 与直线 的面积 解 由 得交点 所围图形 为简便计算 选取y作积分变量 则有 例3 求椭圆 解 利用对称性 所围图形的面积 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当a b时得圆面积公式 图6 1 6 图6 1 7 6 3用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积 图6 1 8 特别 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 例13 计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 图6 1 9 6 1 4用定积分求平面曲线的弧长 图6 1 10 上式称为弧微分公式 于是所求的弧长为 图6 1 11 2011年河南专升本试题 思考与练习 1 定积分的应用 几何方面 面积 体积 弧长 表面积 物理方面 质量 作功 侧压力 引力 2 基本方法 微元分析法 微元形状 条 段 带 片 扇 环 壳等 转动惯量 第六讲 1 求抛物线 在 0 1 内的一条切线 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别为 所指面积 且为最小点 故所求切线为 得 0 1 上的唯一驻点 2 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 1 求函数 2 a为何值时 所围图形绕x轴一周所得旋转体 解 1 由方程得 面积为2 体积最小 即 故得 又 2 旋转体体积 又 为唯一极小点 因此 时V取最小值 分析曲线特
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