大学物理常用高数基础知识ppt课件

补高等数学 矢量 向量 代数 同济大学 高等数学 第五版第7章第一 二节 一 矢量 向量 的概念及其表示1 标量与矢量 向量 2 矢量的表示 1 图示 有 方 向线段 3 矢量的平行 a b 箭头指向可相同或相反 4 矢量的相等 大小 方向 含指向 都相同所以 一般情况下 矢量可以任意平行移动 也称自由矢量 2 符号 粗 黑 体或加箭头 a b或 5 负矢量 a 与a大小相同 方向 指向 相反 3 矢量的模 4 单位矢量 仅用来表示方向 所以 注 空间直角坐标系X Y Z轴的单位矢量分别为 5 矢量的坐标分解式 分量式 矢径 向径 从原点出发的矢量 一般地 其中 ax ay az或x y z分别称为矢量在X Y Z轴上的分量或投影 而注意 分量是代数量 可正可负 恒为正 所以 矢径或其末端的点P都可以用三个坐标 x y z 来表示 则称分矢量 分向量 由 若P点 或矢径 在YOZ平面上 则x 0 若P点 或矢径 在ZOX平面上 则y 0 若P点 或矢径 在XOY平面上 则z 0 若P点 或矢径 在x轴上 则y z 0 若P点 或矢径 在y轴上 则x z 0 若P点 或矢径 在z轴上 则x y 0 若P点为原点 则x y z 0 或P x y z 可知 6 已知矢量的分量求矢量的大小和方向 大小 矢径的大小 一般地 方向 方向角 或方向余弦 7 已知矢量的模和方向角 或方向余弦 求矢量的分量 注意 因为方向角可以是锐角或钝角 因此方向余弦可正可负 所以矢量的分量也可正可负 是代数量 二 矢量的加减法 1 矢量相加的平行四边形法则 见图7 3 2 矢量相加的三角形法则 见图7 2 3 多个矢量相加的多边形法则 见图7 5 5 矢量的减法因为 由矢量相加的三角形法则可得 即 从同一点出发作减矢量和被减矢量 则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量 4 矢量的加法所满足的运算规律 1 交换律 2 结合律 6 矢量加减的坐标表示式 三 矢量与数量的乘法 1 定义 模 大小 方向 当 0时 可视为 方向与相同当 0时 可视为 方向与相反 2 满足的运算规律 1 与另一个数量相乘的结合律 3 矢量与数量相乘的坐标表示式 2 分配律 四 两矢量的标量积 标积 数量积 点积 点乘 1 定义 引入 恒力对作直线运动的物体所作的功 一般地 2 两个推论 1 2 若两非零矢量 则 反之 若 则必有 注意 点 不能掉 3 标量积满足的运算规律 1 交换律 2 分配律 3 满足一定条件下的结合律 略 4 标量积的坐标 分量 表示式 五 两矢量的矢量积 矢积 向量积 叉积 叉乘 1 定义 如力矩 大小 力矩是矢量 方向沿转轴 指向按的顺序 用右 手 螺旋法则确定 注意 不能掉 2 两个推论 1 2 若两个非零矢量 则 反之 若 则必有 3 满足或不满足的运算规律 1 不满足交换律 而是 2 满足分配律 3 满足如下的结合律 4 矢量积的坐标 分量 表示法和行列式表示法 或 5 矢量积 大小 的几何意义 以为邻边的平行四边形的面积 作业 阅读 高等数学 P289 307 整理笔记或小结 点乘 叉乘对照 复习 标量积和矢量积 标量积满足交换律 矢量积不满足交换律 而是 标量积 矢量积 微积分 高等数学 第二章第一 二 三 五节 第四章第一 五节 第五章第一 二节 第一节导数与微分一 导数的概念实例 直线运动的速度直线取为s轴 则质点在任一时刻t的位置s 即动点的坐标 是时间t的函数 记为 如匀速直线运动 若设 对匀加速直线运动 若设 则有 则有 下面求某一时刻t0的 瞬时 速度 匀速运动 瞬时速度等于平均速度 非匀速运动 t0到t时间段的平均速度 欲求t0的瞬时速度 可令t接近于t0 则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度 即 称为s对t的导数 即 瞬时速度等于质点的位置 坐标 对时间的导数 一般地 若y是x的函数 y对x的导数 注 1 在某一个点的导数记为 2 导数的意义 函数随自变量的变化率 二 常用的导数公式 三 函数的和 差 积 商的导数 四 复合函数的求导法则 例如 作简谐振动的质点的位置x是时间t的函数 例1 求匀速直线运动的速度 若设 求匀加速直线运动的速度 若设 则 则有 所以速度 例2 所以速度 五 高阶导数 例如 直线运动的速度是时间的导数 而加速度又是速度随时间是变化率即导数 所以可得 或 这种导数的导数称为二阶导数 一般地 y对x的二阶导数为 类似地 可定义三阶 四阶 导数 统称高阶导数 例 匀速直线运动 加速度 又如 匀加速直线运动 例1 例2 六 微分 1 微分的概念 dy dx 以及前面的ds dt 都叫做微分 所以 也称微商 二微分之商 冷缩 注 物理上也常指一个量 分成无限多份 其中 无限小的 一份 微分的含义 微小 无限小 增量 如热胀 2 微分和导数的几何意义 dx dy分别是曲线上某点x y坐标的微小增量 而导数是曲线这一点处切线的斜率 3 函数的微分公式 等于导数公式乘以自变量的微分 见P115 116 4 微分的运算法则 和 差 积 商的微分 复合函数的微分 与导数类似 见P116 见P115图2 11 P117例3 例4 例5 第二节积分 一 不定积分的概念原函数 设F x 的导 函 数是f x 即 那么 F x 就称为f x 的原函数 例如 即积分是已知导 函 数求原函数 而求导 微分 是已知原函数求导 函 数 所以积分是微分的逆运算 所以 定义不定积分 C 例1 例2 例3 求作匀速直线 取为s轴 且t 0时 s s0 的质点在任意时刻t的位置 解 即s是v的原函数 所以 代入上式 得C s0 所以 二 常用积分表 详见P186 例 三 定积分1 定积分的意义 求连续分布的无限多个无限小部分之和 几何意义 求曲边梯形的面积 即曲线 所围成的图形的面积 总面积 n越多 小面积之和越接近曲边梯形的面积 当 量变到质变 称积分表达式 a称积分的下限 b称积分的上限 其中 又如 求变速直线运动 v v t 的路程 将路程分成很多小段 每一小段内可近似看成匀速 0 s 令求极限 即得总路程为 2 定积分的计算 牛顿 莱布尼茨公式 若f x 的一个原函数是F x 则定积分 例1 例2 例3 P238例5求汽车制动距离 已知 解 匀变速 四 积分的性质 常数可提出积分号外 交换上下限变号 6 平均值的求法 定积分中值定理 如平均速度 一般地 函数f x 在区间 a b 上的平均值 所以 平均值的求法 注意 一般情况下 函数f x 在区间 a b 上的平均值 只对线性函数f x