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基本不等式 一 武汉睿升学校 情景设置 欣赏体会丰富自我 ICM2002会标 如图 这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所组成 你能找出一些相等关系或不等关系吗 赵爽弦图 ICM2002 InternationalCongressofMathematicians Bejing August20 28 2002 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 A B C D E FGH a b 如何证明 思考 你能给出不等式的证明吗 证明 作差法 当且仅当a b时等号成立 新课探究 如果a 0 b 0我们用 代替上式中可得 这个不等式又如何证明 只要证 要证 2 只要证 要证 3 只要证 显然 4 是成立的 当且仅当a b时 4 中的等号成立 我们一起来分析一下 从不等式的性质推导基本不等式 2 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 叫做正数a b的几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 Rt ACD Rt DCB A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 几何意义 半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b 演示 剖析公式应用 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a b是两个正数 当且仅当a b时 号成立 2 正用 逆用 注意成立的条件 3 变形用 1 基本不等式可以叙述为 从数列的角度来看 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 例1 证明 证明 1 已知a 0 b 0 求证 变式训练 2 已知a b c为两两不相等的实数 求证 a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b R
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