弹性力学与有限元完整版ppt课件

有限元法及其应用 第一篇弹性力学 第一章弹性力学基本方程1 1绪论1 2弹性力学的基本假定1 3几个基本概念1 4弹性力学基本方程第二章弹性力学平面问题2 1平面应力问题2 2平面应变问题2 3平面问题的基本方程第三章弹性力学问题求解方法简述 第一章弹性力学基本方程1 1绪论1 2弹性力学的基本假定1 3几个基本概念1 4弹性力学基本方程 应力应变位移 弹性体 外界作用 弹性力学基本内容 外力温度变化 弹性力学 又称弹性理论 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变 物体内部所产生的位移 变形和应力分布等 为解决工程结构的强度 刚度和稳定性问题作准备 弹性力学的研究对象 是完全弹性体 包括构件 板和三维弹性体 比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛 研究的内容 外力作用下应力 应变 位移 1 1弹性力学绪论 物体变形 弹性变形 塑性变形弹性变形 当外力撤去以后恢复到原始状态 没有变形残留 材料的应力和应变之间具有一一对应的关系 与时间无关 也与变形历史无关 塑性变形 当外力撤去以后尚残留部分变形量 不能恢复到原始状态 即存在永久变形 应力和应变之间的关系不再一一对应 与时间 与加载历程有关 弹性 假定 完全弹性 关系 是抽象出来的理想模型 完全弹性是指在一定温度条件下 材料的应力和应变之间具有一一对应的关系 应力 应变关系称为本构关系 材料模型包括 线性弹性体非线性弹性体 1 2弹性力学的基本假定 连续性假设根据这一假设 物体的所有物理量 例如位移 应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数 均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的 物体各个部分的物理性质都是相同的 不随坐标位置的变化而改变 在处理问题时 可以取出物体的任意一个小部分讨论 3 各向同性假设假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质 物体的弹性常数不随坐标方向变化 像木材 竹子以及纤维增强材料等 属于各向异性材料 它们是复合材料力学研究的对象 4 完全弹性假设应力和应变之间存在一一对应关系 与时间及变形历史无关 满足胡克定理 5 小变形假设在弹性体的平衡等问题讨论时 不考虑因变形所引起的几何尺寸变化 使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸 采用这一假设 在基本方程中 略去位移 应变和应力分量的高阶小量 使基本方程成为线性的偏微分方程组 1 3几个基本概念 外力一点的应力状态一点的形变位移分量 作用于物体的外力可以分为3种类型 体力 面力 集中力 体力 就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力 又称为质量力 例如物体的重力 惯性力 电磁力等等 面力 是分布在物体表面上的力 例如风力 静水压力 物体之间的接触力等 集中力 作用物体一点上的力 在弹性力学中一般不用 而在有限元中经常出现 1外力 体力物体任意一点P所受体力的大小和方向 在P点区域取一微小体积元素 V 设 V的体力合力为 F 则 V的平均体力为 当 V趋近于0 则为P点的体力 体力是矢量 一般情况下 物体每个点体力的大小和方向不同 体力分量 将体力沿三个坐标轴xyz分解 用X Y Z表示 称为体力分量 符号规定 与坐标轴方向一致为正 反之为负 应该注意的是 在弹性力学中 体力是指单位体积的力 体力的因次 力 长度 3表示 F XYZ 面力与体力相似 在物体表面上任意一点P所受面力的大小和方向 在P点区域取微小面积元素 S 当 S趋近于0 则为P点的面力 面力分量 符号规定 与坐标轴方向一致为正 反之为负 面力的因次 力 长度 2 集中力体力与面力都是分布力 集中力则只是作用在一个点上 作用区域 V或 S很小 但数值很大 这种形式的力可以认为是集中力 集中力分量 集中力直接将其沿三个坐标轴分解 用X0 Y0 Z0表示 即集中力力分量 符号规定 与坐标轴方向一致为正 反之为负 体力的因次 力 2一点的应力状态 应力表示方法材料力学中接触过斜截面上的应力 斜截面上应力可以分成正应力 剪应力 复杂物体任意截面上的应力可分为1个与平面垂直的正应力 2个平面内剪应力 X面 Y面 Z面 正应力分量3个 剪应力分量6个 正面负面 X面 Y面 Z面 应力符号意义 剪应力 正应力 由法线方向确定 作用面 作用方向 符号规定 正面上与坐标轴正向一致 为正 负面上与坐标轴负向一致 为正 剪应力互等定理 剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 应力分量 相等 3一点应变分量 微分单元体的变形 微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变棱边之间夹角的变化 剪应变 正应变分量3个 剪应变分量3个 应变的定义 自学 设平行六面体单元 3个轴棱边 变形前为MA MB MC 变形后变为M A M B M C 正应变 小变形 自学 符号规定 正应变以伸长为正 剪应变 自学 符号规定 正应变以伸长为正 剪应变以角度变小为正 4位移分量 位移 由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响 物体内各点在空间的位置将发生变化 位置移动即产生位移 位移 刚体位移 变形刚体位移 物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变 由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改变 变形 物体整体位置不变 弹性体在外力作用下发生形状的变化 而改变了物体内部各个点的相对位置 引起位移 后者与弹性体的应力有着直接的关系 弹性力学研究的主要变形 通常叫位移 u x x y z x u x y z v y x y z y v x y z w z x y z z w x y z 根据连续性假设 弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体 弹性体中某点在变形过程中由M x y z 移动至M x y z 这一过程也是连续的 为x y z的单值连续函数 形变和位移之间的关系 位移确定 形变完全确定 从物理概念看 各点的位置确定 则微分线段上的形变确定 从数学推导看 位移函数确定 则其导数 形变 确定 形变确定 位移不完全确定 从物理概念看 确定 物体还可作刚体位移 从数学推导看 确定 求位移是积分运算 出现待定函数 应力应变位移 弹性力学各个量之间的关系 平衡方程 物理方程 几何方程 外力 弹性力学分析过程中 通过静力平衡 几何变形和本构关系建立起外力 应力 应变 位移之间相互关联 再必须根据已知物理量 一般外力 结构几何形状和约束条件等 推导和确定基本未知量 应力 应变 位移 1 4弹性力学基本方程 平衡方程 应力 外力之间的关系 2 物理方程 应变 应力之间的关系 3 几何方程 柯西方程 应变 位移之间的关系 4 变形协调方程 5 边界条件 如果物体表面的面力已知 则称为应力边界条件 第一类边界条件 如果物体表面的位移已知 则称为位移边界条件 第二类边界条件 混合边界条件 第一类 第二类 5 边界条件 应力边界条件 位移边界条件 外法线的方向余弦 方程数量 平衡方程 3个物理方程 6个几何方程 6个合计15 未知量 应力分量 6个应变分量 6个位移分量 3个u v w合计15 空间问题 第二章弹性力学平面问题2 1平面应力问题2 2平面应变问题2 3平面问题的基本方程 2 1平面应力问题 1 平面应力问题的概念平面应力问题讨论的弹性体为薄板 薄壁厚度远小于结构另外两个方向的尺度 薄板的中面为平面 其所受外力 包括体力均平行于中面O xy面内 并沿厚度方向z不变 而且薄板的两个表面不受外力作用 平面应力问题 几何特征薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸等厚度中心层平直 受力特征外力平行于中心层外力沿厚度不变化 根据薄板的表面面力边界条件 即表面不受外力作用 则 由于板很薄 外力沿厚度均匀分布 因此应力分量也沿厚度均匀分布 应力分量不随z改变 2 平面应力问题的应力 应力分量应变分量 3 平面应力问题应力 应变 1平面应变问题的概念弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体 横截面大小和形状沿轴线长度不变 作用外力与纵向轴垂直 并且沿长度不变 柱体的两端受固定约束 可以认为柱体是无限长的 如果从中任取一个横截面 则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的 因此物体变形时 横截面上的各点只能在其自身平面内移动 2 2平面应变问题 几何特征一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸中心轴平直沿中心轴截面不变化受力特征外力垂直于中心轴外力沿中心轴长度方向不变化 平面应变问题 2 平面应变问题的位移沿纵向轴的位移恒等于零 由于无限长 所以任一个横截面都是一样的 与z轴无关 只要是x y坐标函数 应力分量 应变分量 3 平面应变问题的应力 应变 2 3平面问题的基本方程 平衡方程 应力 外力之间的关系 2 几何方程 应变 位移之间的关系 3 物理方程 应变 应力之间的关系 平面应力与平面应变问题的 平衡方程 几何方程相同 但物理方程不同 从空间问题推得 平面应力的物理关系 平面应力的物理关系 平面应变的物理关系 平面应变的物理关系 二者主要不同在于z向应变 位移和正应力的计算公式 两种平面问题的区别 两种平面问题的内在关系 平面应力 平面应变 平面应力 平面应变 平面应变 平面应力 两种平面问题的内在关系 平面应力 平面应变 平面应力 平面应变 4变形协调方程 平面应力 平面应变 由6个简化为1个 调和方程 方程数量 平衡方程 2个物理方程 3个几何方程 3个合计8 未知量 应力分量 3个应变分量 3个位移分量 2个u v合计8 平面问题 第三章弹性力学问题求解方法简述 应力应变位移 弹性力学各个量之间的关系 平衡方程 物理方程 几何方程 外力 3 1概述根据几何方程和本构方程可见 位移 应力和应变分量之间不是相互独立的 假如已知位移分量 通过几何方程可以得到应变分量 然后通过物理方程可以得到应力分量 如果已知应力分量 通过物理方程得到应变分量 再由几何方程的积分求出位移分量 不过这时的应变分量必须满足一组补充方程 即变形协调方程 应力应变位移 位移解法 若以位移函数作为基本未知量求解 根据物理方程和几何方程 应力分量及平衡方程均由位移分量表达 应力解法 若以应力函数作为基本未知量 称为应力解法 对于应力解法 应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程 混合解法 若以位移分量和应力分量作为基本未知量 通过物理方程中消去应变分量 表述基本方程 称为混合解法 基本方程的求解方法 弹性力学是对整个研究对象建立平衡方程 几何方程 物理方程 再根据外力作用下求整体的应力 应变 位移 解答的途径有两大类 精确解 解析解 理论解法 逆法 半逆法 复变函数法 级数法 特殊函数法等2 近似解法 数值解法 1位移解法当位移分量作为基本未知函数求解时 变形协调方程是自然满足的 根据物理方程和几何方程 可以得到 以位移表示的平衡微分方程 称为拉梅 Lam 方程 拉普拉斯运算符号 3 2解析解法 2应力法主要介绍应力函数法 称为艾里 Airy 应力函数 设 应力表示的变形协调方程 双调和方程 应力函数 1 一次多项式 一次多项式应力函数对应无应力的应力状态 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x y的线性函数 将不影响应力分量的值 2 二次多项式 如仅a b c 0 分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态 3 三次多项式 如果仅考虑d不为零的情况 即a b c 0 其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态 解析解的难点 弹性力学研究对象是弹性体 形体复杂 是偏微分方程的边值问题 在数学上求解困难重重 除了少数特殊边界问题 一般弹性体问题很难得到解答 要得到解析解 1 简化形体 譬如材料力学的研究对象是杆件 常微分方程 可以求解 平面问题 忽略次要因素 简化应力状态 2 简化边界约束条件 放松某些限制等 结果 寻求求解偏微分方程在特定条件下的数学解法 而造成所得到的结果并非实际问题的真实状态 结果误差很大 甚至是错误的结论 近似解法 数值解法 差分法加权余量法变分法有限元法 FEM 边界元法 BEM 3 3数值解法 有限元法与边界元法的比较离散化 FEM在区域上 BEM在边界上 维数 BEM降维 3D2D 2D1D 通用性 FEM格式统一 BEM特定问题 对使用者数学要求 FEM低 BEM高 目前应用状况 FEM一统天下 1有限元基本思想2离散化 建立计算模型 3位移插值函数4单元分析5等效结点载荷6整体分析7有限元方程求解方法8应力结果9举例 第二篇有限元法基础 应力应变位移 弹性力学各个量之间的关系 平衡方程 物理方程 几何方程 外力 1有限元基本思想 应力应变位移 平衡方程放弃 物理方程 几何方程 外力 有限元的基本思路 能量原理 只要位移场确定 就可得到应变 应力 有限元的基本思想 在弹性体内选取足够多 有限个点 假定这些点的位移已知 再用这些假定的位移量描述其它位置点的位移 就得到了用特定点位移表示的弹性体的位移场 这些选定的有代表性的点 结点 node 结点 代表性 尖点 拐角 截面改变处等集中载荷作用 位移约束位置等 位移场 某个点 非结点 位移不是由所有结点位移来表述的 而是划分成小区域 小块上的结点来表示的 这些小区域 小块 单元 有限元处理问题的方法 连续体剖分小块 单元 即离散体 有限元法特点 概念浅显 容易掌握 可以在不同程度上理解与应用通用性强 应用广泛 几乎所有领域 计算格式统一 便于编程计算 大型通用程序成熟商业化 无需专门知识编程先进的前处理 网格自动划分 完善的后处理 可视或动态显示 直观形象 误差难估计 2离散化 计算模型 单元的形式是多样的 实体 单元模型 2 1单元类型与作用 杆单元 梁单元 二维单元 线性单元 二次单元 三维单元 线性单元 二次单元 板壳单元 2 2离散化应注意的问题 首要的问题是根据结构的几何特点 受力特征选择合理的单元形式 对称性的利用 在划分单元之前 有必要先研究一下计算对象的对称或反对称的情况 以便确定是取整个物体 还是部分物体作为计算模型 取四分之一作为计算模型 以平面三角形单元为例 共边 覆盖求解区域 单元间既不允许相互重叠 也不允许相互脱开 共点 任意三角形的顶点必须是相邻单元的顶点 不能为相邻单元的内点 边长接近 单元的边长尽可能接近 采用锐角三角形数目与精度兼顾 单元划分细 计算精度越高 但结点数增加 计算时间加长 单元大小过渡 应力梯度大的区域单元尺寸小 应力变化小的区域 单元可以划分大些 或在初步计算的基础上对于高应力区 在进一步细化网格 进行二次分析 适当简化 不可以 可以 较差 较好 节点编号顺序在进行节点编号时 应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小 以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽 节省存储 提高计算效率 平面问题的半带宽为B 2 d 1 3位移模式 要求 i j m按逆时针排序 单元的结点位移向量 用来描述单元内各点位移变化规律的函数 称为位移模式 三角形单元的位移模式假定为 位移模式 位移模式矩阵表达 位移模式通式 单元内任一点的位移 单元的结点位移向量 单元的形函数矩阵 形函数的性质 面积坐标 形函数与面积坐标的关系 三角形的面积 位移模式 反映了单元内任意一点的位移与结点位移之间的关系 是有限元计算精度的关键 4单元分析 4 1单元上任意一点的应变4 2单元上任意一点的应力4 3单元的能量4 4单元刚度矩阵的性质 4 1单元上任意一点的应变 几何方程 或写成通式 B 矩阵叫做单元几何矩阵 反映了单元内任意一点的应变分量与结点位移之间的关系 几何矩阵 B 中的每个元素 均为常数 它们由结点坐标确定 单元内任意一点P的应变分量与坐标 x y 无关 说明单元中应变是常量 4 2单元上任意一点的应力 物理方程 D 弹性矩阵 平面应力问题 平面应变问题 S 叫做应力矩阵 4 3单元的能量1 单元的应变能 一维问题应变能密度为 平面问题应变能密度为 称为单元刚度矩阵 简称单刚 它反映了单元应变能与单元结点向量之间的关系 2 外力势能 1 体力势能 2 面力势能 3 集中力势能 3 单元的总势能 4 4单元刚度矩阵的性质 某单元的刚度矩阵 仔细看看 会发现该矩阵有哪些特点 4 4单元刚度矩阵的性质1 对称性单元刚度矩阵是对称方阵 其元素都对称于主对角线 2 奇异性单元刚度矩阵中任意一行或列元素之和为零 其物理意义是在没有给单元施加任何约束时 单元可有刚体运动 位移不能唯一的确定 3 主对角线元素恒为正值主对角线元素是正值说明结点位移方向与施加结点荷载的方向是一致的 4 单元刚度矩阵与单元位置无关单元刚度矩阵与单元位置无关 也就是单元在平移时 K e不变 单元结点排列顺序不同时 K e中元素大小不变 而排列顺序相应改变 5等效节点载荷 弹性体所受外力包括体积力 表面力 集中力 分别作用在弹性体内部 物体表面上 物体的一个点上 载荷列阵 R 是由弹性体的全部单元的等效节点力集合而成 是将全部载荷转移到单元的节点上 它们的作用位置发生了变化 载荷移置 它们的作用效果是等效的 故称等效节点力向量 R e 各种载荷分别移置到节点上 再逐点加以合成求得单元的等效结点载荷 1 体力等效结点载荷 自重情况下 2 面力等效结点载荷 6 1结构的结点位移向量 假设弹性体被划分为N个单元和n个节点 整个弹性体的节点位移向量 2n 1 整个弹性体的载荷列阵 R 2n 1 6整体分析 矢量 有方向性 外力 应力 不能直接相加标量 没有方向 只有大小 可以相加 弹性体的能量是标量 可以直接相加 6 2结构的总势能 单刚的扩充为了实现上述运算 扩展 结构的总刚度矩阵 结构总的体力列阵 结构总的面力列阵 结构总的集中力列阵 结构的总势能 6 3整体刚度矩阵形成方法 组装总刚 k 的一般规则 1 当 krs 中r s时 该点被哪几个单元所共有 则总刚子矩阵 krs 就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵 krs e的相加 2 当 krs 中rs时 若rs边是组合体的内边 则总体刚度矩阵 krs 就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵 krs e的相加 3 当 krs 中r和s不同属于任何单元时 则总体刚度矩阵 krs 0 下面 我们考查一个组装总刚的实例 1 整体刚度矩阵及载荷列阵的组集 根据叠加原理 整体结构的各个刚度矩阵的元素显然是由有关单元的单元刚度矩阵的元素组集而成的 为了便于理解 现结合图5说明组集过程 图中有两种编码 一是节点总码 1 2 3 4 二是节点局部码 是每个单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为1 2 3 图中两个单元的局部码与总码的对应关系为 单元e的刚度矩阵分块形式为 整体刚度矩阵分块形式为 其中每个子块是按照节点总码排列的 通常 采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚度矩阵 刚度集成法分两步进行 第一步 把单元刚度矩阵扩大成单元的贡献矩阵 使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列 空白处作零子块填充 总码1234234312局部码 第三步 把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加 即可得出整体结构的刚度矩阵 如 42 式 在这里应该指出 整体刚度矩阵中每个子块为阶矩阵 所以若整体结构分为n个节点 则整体刚度矩阵的阶数是 至于整体结构的节点载荷列阵的组集 只需将各单元的等效节点力列阵扩大成2n行的列阵 然后按各单元的节点位移分量的编号 对应相叠加即可 6 4整体刚度矩阵的性质 刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义为 欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移 而其它节点都保持为零的变形状态 在各节点上所需要施加的节点力 正定性 刚度矩阵 K 中主对角元素总是正的 刚度矩阵 K 是一个对称矩阵 即 Krs Ksr T 刚度矩阵 K 是一个稀疏矩阵 如果遵守一定的节点编号规则 就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附近呈带状 5 奇异性 刚度矩阵 K 是一个奇异矩阵 在排除刚体位移后 它是正定阵 半带存储 半带宽B 相邻节点号的最大差值D 1 2 7有限元方程及求解方法 7 1有限元方程结构的总势能 最小势能原理 对于线弹性体 某一变形可能位移状态为真实位移状态的必要和充分条件是 此位移状态的变形体势能取最小值 结构总势能泛函 对结点位移 的变分为0 结构有限元方程 它是一个2n阶的线性代数方程组 因为该方程中 K 是结构的总刚度矩阵 F 是外荷载列阵 都通过计算求得 因此可以根据有限元方程可以确定结点位移 7 2位移边界条件的处理由于总体刚度矩阵是奇异的 物理意义是结构中存在刚体位移 不能直接求解 必须引入限制结构刚体位移的位移边界条件 即位移约束条件 消除总体刚度矩阵的奇异性 才能求解结构有限方程 位移边界条件是指结构的某些区域位移已知 对于离散体来说 位移约束条件是某些结点的位移分量受到限制 包括位置限制和方向限制两个方面 具体哪些结点受到限制 受限制结点哪个方向位移分量受到限制 要根据结构受力后变形特征来确定 处理的方法 主要有三种 降阶法 紧缩法 置大数法改1法 1 降阶法降阶法也称紧缩法或直接代入法 该法是将结构有限元方程中已知结点位移的自由度全部消去 得到一组降阶的修正方程 用以求解其它未知的结点位移 如果给定的位移均为零位移 则只需将总刚 K 荷载列阵 F 中与该位移所对应的行和列全部划去即可 如果给定的位移不为零位移 也只保留了待定的结点位移作为未知量 但需对右端荷载列阵进行相应的修正 2 置大数法将结构总刚度矩阵中与被约束的位移分量相对应的主对角线元素赋予一个大数A 如取A 10e30或更大 再将右端荷载列阵对应的荷载值换成已知的位移值与该大数的乘积 设结点位移分量r为已知 则有限元方程变为 经过修改后第r个方程的为 方程两边同时除以A 除第r项外 其余各项均为微小量可略去 3 对角元素改1法当给定的位移值为零时 将总刚中与之相对应主对角线元素改为1 相对应的行和列中其余所有元素改为0 荷载列阵对应的元素也改为0即可 应力应变位移 物理方程 几何方程 外力 有限元方程 计算模型中 位移场已经确定 就可得到应变 应力 8应力结果 网格化 模型 8 1单元应力计算步骤有限元方程求解之后 得到了所有结点的位移 单元应力计算对每个单元循环 对于任一单元 根据结点i j m的实际编号 从结构结点位移向量 中选出单元结点位移向量 计算单元的应变分量 计算单元的应力分量 8 2应力分析以上分析得到了所有单元的应力分量 为了强度分析 进一步计算主应力或等效应力 主应力 取 号为最大应力 取 号为最小应力 最大应力与x轴的夹角 MISES应力 由应力分量表示的三维MISES应力 由主应力表示的三维MISES应力 由应力分量表示的二维MISES应力 8 3应力显示 x应力 mises应力 确定根据工程实际情况确定问题的力学模型 并按一定比例绘制结构图 注明尺寸 载荷和约束情况等 将计算对象进行离散化 即弹性体划分为许多三角形单元 并对节点进行编号 确定全部节点的坐标值 对单元进行编号 并列出各单元三个节点的节点号 计算载荷的等效节点力 单元分析 由各单元的相关参数 计算单元的几何矩阵 刚度矩阵 组集整体刚度矩阵 即形成总刚的非零子矩阵 组装各单元的等效结点载荷 形成总的外载荷向量 有限元分析的实施步骤 处理约束 消除刚体位移 求解线性方程组 得到节点位移 计算应力矩阵 求得单元应力 并根据需要计算主应力和主方向 整理计算结果 后处理部分 图1所示为一厚度t 1cm的均质正方形薄板 上下受均匀拉力q 106N m 材料弹性模量为E 泊松比 不记自重 试用有限元法求其应力分量 例1 9计算实例 解 力学模型的确定 结构离散 由于此结构长 宽远大于厚度 而载荷作用于板平面内 且沿板厚均匀分布 故可按平面应力问题处理 考虑到结构和载荷的对称性 可取结构的1 4来研究 该1 4结构被离散为两个三角形单元 节点编号 单元划分及取坐标如图2所示 其各节点的坐标值见表1 求单元的刚度矩阵 计算单元的节点坐