平面的基本性质20日周四第二课时

2008年11月20日周四 平面的基本性质 第二课时 一 复习回顾 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面内 点A在平面外 直线l在平面外 直线l在平面内 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 平面的基本性质的三种语言描述 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 符号语言 符号语言 符号语言 D C 二 建构数学 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 已知 点A a 求证 过点A和直线a可以确定一个平面 证明 存在性 因为A a 在a上任取两点B C 所以过不共线的三点A B C有一个平面 公理3 因为B C 所以a 公理1 故经过点A和直线a有一个平面 唯一性 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面 那么A a 因为B a C a 所以B C 公理1 故不共线的三点A B C既在平面 内又在平面 内 所以平面 和平面 重合 公理3 所以经过点A和直线a有且只有一个平面 证明 同理 即直线AD BD CD共面 直线l与点D可以确定一个平面 推论 又 又 直线AD BD CD在同一个平面内 例1 已知 求证 直线AD BD CD共面 公理 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 证明 在a上取不同于点P的点A 即 过a b有一个平面 过直线b和点A有一个平面 即 过a b有一个平面 存在性 唯一性 平面的基本性质 例2 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证法一 因为AB AB A 所以直线AB AC确定一个平面 推论2 因为B AB C AC 所以B C 故BC 公理1 因此直线AB BC CA共面 平面的基本性质 证法二 因为A 直线BC上 所以过点A和直线BC确定平面 推论1 因为A B BC 所以B 故AB 同理AC 所以AB AC BC共面 平面的基本性质 证法三 因为A B C三点不在一条直线上 所以过A B C三点可以确定平面 公理3 因为A B 所以AB 公理1 同理BC AC 所以AB BC CA三直线共面 要证各线共面 先确定一个平面 再证明其他直线也在这个平面内 例2 已知a b c d是两两相交且不共点的四条直线 求证 a b c d共面 证明 如图 1 当Q S R 三点重合时 如图 2 同理 a b可确定一个平面 即 a b c d共面 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 图形语言 符号语言 a b 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 证明 由平行线的定义知 a b在同一平面内 设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外 点A和直线b在过a b的平面 内 又由推论1 过点A和直线b的平面只有一个 过a b有且只有一个平面 a b A 如果经过直线a b的平面还有一个平面 那么a b 平面 就是一个平面 例3 已知空间四点A B C D不在同一平面内 求证 AB CD既不平行也不相交 证明 假设AB和CD平行或相交 则AB CD可确定一个平面 与A B C D不共面矛盾 AB和CD既不平行也不相交 数学运用 画出由A1 C1 P三点所确定的平面 与长方体表面所在平面的交线 数学运用 6 如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是AA1 D1C1的中点 过D M N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l 1 画出l的位置 2 设l A1B1 P 求PB1的长 有三位同学证明如下 请判断正误 问题研讨 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体