（试题 试卷 真题）2013年高考北京卷（文）

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1已知集合，则（ ）A B C D2设,且,则 ()（A）（B）（C）（D）3下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ )上单调递减的是（A） (B) （C） (D) 4在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限5在ABC中，,则（A） （B） （C） （D）16执行如图所示的程序框图，输出的S值为开始是否输出结束（A）1 （B）（C） （D）7双曲线的离心率大于的充分必要条件是A B C D8如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 第二部分（非选择题 共110分）二填空题共6题，每小题5分，共30分。9若抛物线的焦点坐标为（1,0）则=_;准线方程为_.10某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_.1俯视图侧（左）视图正（主）视图 2 1 1 2 11若等比数列满足，则公比=_;前项=_.12设为不等式组，表示的平面区域，区域上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为_.13函数f（x）=的值域为_.14已知点，.若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为_.三解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共13分）已知函数.（I）求的最小正周期及最大值； （II）若，且，求的值.16(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（）求此人到达当日空气质量优良的概率;（）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：（1）底面；（2）平面；（3）平面平面 18（本小题共13分）已知函数.（）若曲线在点)处与直线相切，求与的值。（）若曲线与直线 有两个不同的交点，求的取值范围。19（本小题共14分）直线（）：相交于，两点， 是坐标原点（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。20本小题共13分）给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（）设数列为3，4，7，1，写出，的值;（）设（）是公比大于1的等比数列，且.证明：，是等比数列；（）设，是公差大于0的等差数列，且，证明：，是等差数列.参考答案一选择题：1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二填空题：92， 103 112， 12 13（，2） 143 三解答题：15解：（I）因为=，所以的最小正周期为，最大值为.（II）因为，所以. 因为，所以，所以，故.16解：（I）在3月1日至3月13日这13天中，1日2日3日7日12日13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.（II）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为.（III）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17（I）因为平面PAD平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.（II）因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点所以ABDE,且AB=DE所以ABED为平行四边形，所以BEAD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD所以BE平面PAD.（III）因为ABAD,而且ABED为平行四边形所以BECD,ADCD,由（I）知PA底面ABCD,所以PACD,所以CD平面PAD所以CDPD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.18解：由，得.（I）因为曲线在点处与直线相切，所以，解得，.（II）令，得. 与的情况如下：所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值.当时，曲线与直线最多只有一个交点；当时，, ,所以存在，使得.由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.综上可知，如果曲线与直线有且只有两个不同交点，那么的取值范围是.19解：（I）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设，代入椭圆方程得，即. 所以|AC|=.（II）假设四边形OABC为菱形.因为点B不是的顶点，且ACOB,所以.由，消去并整理得.设A,C，则，.所以AC的中点为M（，）.因为M为AC和OB的交点，且，所以直线OB的斜率为.因为，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.20解：（I）.（II）因