数学人教版八年级上册全等三角形与旋转问题.docx

课题概述 八年级学生虽然已经在七年级学习了平行线与相交线，但是平行线与相交线的证明很简单，本学期学习连续学习三角形，全等三角形，轴对称三章，图形变化较多，学生在寻找图形边角关系上还存在问题，证明也有一定难度，只能见一个图形硬性记一个图形，所以本节课设计意图就是将看似分隔的图形通过几何画板的演示整合到一起，形成一个图形的不同变换形式，而实质是不变的，从而帮助学生理解图形的内在联系。对于以后学习旋转规律图形也会有相当大的帮助。学习目标阐述 （1）通过观察图形的变化过程，探究发现图形变化的实质，从而抓住本质规律，找到证明全等的条件（2）通过观察几何画板的图形变换的演示，将看似分割的图形整合到一起，抓住事物本质完成目标（1）的标志是：学生能用旋转的角度理解两个三角形能重合，所以全等，进而理解边角关系，找到证明条件。完成目标（2）的标志是：学生发挥想象力和创意移动点C，B位置，发现不同图形式可以整合到一起，从而将图形统一，抓住图形本质。学习者特征分析 学生在八年级上学期刚刚学习了三角形，全等三角形和轴对称三章，三大章几何连在一起学习，学生的几何体系还没有建立起来，还不能熟练辨析图形之间的关系，对于图形的变换还比较陌生，对于判定两个三角形全等方法的选择以及利用等边三角形证明两个三角形全等也还有一定难度。教学策略选择与教学活动设计 教学策略：八年级学生好奇心强，对新鲜事物感到新奇，创意无限，喜欢探索。几何画板的动态演示过程，能激发学生的学习兴趣，帮助学生发现并理解图形的变化过程及变换的实质，让学生能够更积极主动地探索新知。教学活动设计教师创设背景，由学生发挥想象和创意改变图形，发现图形规律和内在联系，并由学生尝试总结规律，给出证明。教学资源与工具的设计和使用 八年级上册数学课本 几何画板V5.05教学过程设计 教师活动设计学生活动设计设计目的和关注事项前面我们学习了全等三角形的判定方法，现在我们来一起回忆一下，全等三角形的判定方法有哪几种？那么等边三角形的判定方法有哪几种呢？回忆并回答：SSS,SAS,ASA,AAS,HL三条边都相等；三个角都相等；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形温故知新关注是否学生都已掌握基本知识探究1 当全等遇上等边时往往会变化出许多图形，今天我们就一起来探究一下他们是如何变化的。这是我们比较熟悉的一个图形，ABC向形外作等边ACM和等边BCN，那么CBM和CAN有什么关系呢？为什么？引导学生观察两个三角形的特点是有一个公共的顶点C，那么这两个三角形我们能不能看成一个三角形通过某种几何变换，变换成另一个三角形呢？它们是如何变换的？当等边三角形和旋转结合起来时，许多证全等的分散条件就可以集中在一起。今天我们就来研究全等三角形与旋转问题（板书标题）提问学生CBM是如何旋转至CAN？（根据学生回答情况给予鼓励，适当规范表述）并演示动画变化。如果我想知道AN和BM的夹角是多少度呢?谁能告诉我吗？肯定并鼓励学生大胆说出想法，鼓励学生多种角度思考因为可以看成旋转，所以两个三角形全等，所以对应边等，AN=BM，对应角也相等，对应边上的中线，高线，角分线也会相等，面积是不是也相等？这样为我们证明其他问题得到更多的条件。如果我拖动点C的位置，这两个三角形还全等吗？还可以看成旋转得到的吗？大家想让点C移动到哪里？根据学生想法变拖动C位置，演示变换图形，得到点C在AB上，C在AB下方的图形，提问学生：两个三角形还全等吗？条件呢？还能看成旋转吗？如何转的？（演示旋转变换）我可以移动点A或B吗？大家想移动到哪里？还有全等吗？条件呢？还能看成旋转吗？根据学生想法变拖动B位置，演示变换图形，得到点B在AM上，B在AC上方的图形，提问学生如何旋转的？如何证明？有哪些结论？总结：我们发现无论A，B，C三个顶点如何变化，结论都是一样的，都是SAS两个三角形全等，都可以绕公共顶点C看成旋转而得学生回答：全等，SAS并口述证明过程学生思考并回答：旋转学生观察图形，思考后回答：CBM绕点C旋转60至CAN，并上台指出如何旋转学生思考回答60，并说明理由1.有旋转而得2.利用规律图形证明：蝴蝶型导角，并上台指出规律图形学生思考并回答：成立学生积极思考变换位置，发现规律，得到本质不变的结论，能表述并演示给大家学生继续思考尝试变换，总结规律学生尝试B点的不同位置得到不同的图形，对比C点的变换图形，发现总结规律和证明方法鼓励学生探索图形的变化过程，发现规律，总结规律关注：1.是否每个学生都在倾听和思考； 2.是否能用数学的语言准确表述； 3.证明是否完整严谨，逻辑顺序清晰关注：1.学生是否能发现并利用规律图形证明； 2.学生能否利用旋转得到旋转角肯定并鼓励学生的想法通过捕捉学生细微的表情变化去分析评判学生的学习效果.激发学生的好奇心和求知欲，在变化中观察规律，发现规律并总结规律关注：1.学生是否发挥想象力，敢于大胆尝试不同位置2. 学生是否仔细倾听同伴想法3. 学生是否积极思考总结规律，并利用所讲知识4.学生是否能用严谨逻辑推理证明探究2如果我以ABC的两边向型外作正方形呢？还会有全等吗？AN还等于BM吗？还能看成旋转吗？请学生上台指出全等并证明 这时AN与BM的交角是多少度？为什么？ 请学生上台指出导角规律图形并证明如果我拖动点C的位置，这两个三角形还全等吗？还可以看成旋转得到的吗？大家想让点C移动到哪里？根据学生想法变拖动C位置，演示变换图形，得到点C在AB上，C在AB下方的图形，提问学生：两个三角形还全等吗？条件呢？还能看成旋转吗？如何转的？（演示旋转变换）我移动点A或B的位置，刚才的结论还有成立吗？总结：我们发现，纵使图形千变万化，本质是不变的，两个有公共顶点的三角形，可以看成有一个绕着公共顶点旋转到另一个，它们都是利用边角边证明的全等。学生回答：会并证明学生思考：回答：90度，可看成旋转，证明可以用蝴蝶型规律图形导角学生积极思考大胆尝试点C的不同位置，思考图形规律，并上台讲解证明学生已经熟悉图形不需要演示变换即可得出成立的结论落实基础，掌握规律图形结论关注：1.学生是否能把刚才的知识迁移到此，举一反三2.学生是否能透过现象发现事物的本质3.学生是否能将以往见过的不同图形联系到一起总结特征和规律继续激发学生的好奇心和求知欲，在变化中观察图形，落实所讲知识，加深理解图形内在联系，总结规律关注：1.学生是否全员参与全程参与学习2.学生是否踊跃发言3.学生是否积极投入地思考检验学生对规律的理解和辨析能力，是否能通过现象看到本质 现在我们截取探究1中的一个图形来证明一下，请看例1，谁能证明？ 例1.如图，等边ABC与等边DEC共顶点于C点求证：AE=BD= 教师板书过程学生一人口述证明过程，其他同学将过程落实在学案上落实基础，保证所有同学都能掌握例2.如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形下列结论正确的有（ ）个 AN=MB ADCMEC FN=EB CDE为等边三角形 DE/AB AFM=60 CF平分AFB A.4 B. 5 C.6 D.7初步深入，由不同学生分步上台逐个证明，教师适时演示提醒，鼓励学生大胆尝试，教师显示过程学生思考表述证明过程运用知识解决问题迁移知识，考察同学在复杂图形中对基础图形的识别与运用能力关注：1.学生是否能准确识别图形规律2.学生是否用严谨的理论推理证明结论3.学生是否能找到最简便的证明方法3.学生是否仔细倾听同伴思路并规范书写例3.已知OBOA,OB=OA，E为OB上一点，以OE为边作正方形OEDF,连接AE,BF, (1)如图1，线段AE与BF的关系是_ (2)如图2，若正方形OEDF绕点O旋转至OEDF时， 求证:AEBF规范书写提示学生有垂直就可以建立平面直角坐标系，鼓励学生加深题目，自己出题编出中考题引申：如图建立平面直角坐标系，A点坐标为(-2，0)，B(0，2)，E为OB中点，若正方形OEDF绕点O旋转，(1)如图2正方形旋转至OEDF时，求证：AEBF(2)若直线AE与直线BF交于点P，求AEO为多少度时，P点纵坐标最大(直接写结果) 演示正方形旋转过程，通过观察发现题目本质，引导学生观察P点的变化范围，其轨迹像在荡秋千，引导学生观察P在AE上，P点纵坐标最大，需使直线AE倾斜程度最大，那么倾斜程度受谁控制呢？学生辨别图（1）是探究2中的哪种情况，并得出结论学生图（2）是探究2中的哪种情况，上台指出全等三角形，找到蝴蝶形基础导角图形，并证明学生在原有图形基础上尝试加深题目难度，水到渠成学生发现本质不变，依旧全等，蝴蝶型导角， 学生观察演示过程，发现想要P点纵坐标最大，需使直线AE倾斜程度最大，因为直线AE绕点A旋转，A不动，其倾斜程度受E控制，需使OE AE，所以AEO=90考察学生对规律图形的识别让学生体会中考题并非遥不可及，所谓难题不过只基础题目，基础图形的叠加，只要基础落实扎实，难题即可攻克鼓励学生面对困难，勇于接受挑战的精神，增强学生的自信心利用几何画板的动态演示帮助学生理解图形构成，发现本质，从而将复杂的图形简单化，解决问题课堂小结：1.（知识与技能）通过一节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？在观察图形内在关系、综合解决问题方面有哪些新的收获或提高？2.（过程与方法）通过一节课的学习,你学到了那些方法，有什么收获？3.（情感、态度、价值观）你对自己的表现满意吗？你觉得同伴的表现如何？对你有什么影响？学生整理分享收获：1.原来看似割裂的图形通过几何画板的动态演示，我们看到了它们的内在联系，都可以用SAS证明第一对三角形全等，进而在此基础上得到其他三角形全等或结论2.我学会了用旋转的角度观察图形，对边角关系看得更加清晰3.我看到了同伴的无限创意，学会了欣赏同伴，敢想才有更多的收获让学生梳理所获知识教学评价与反馈设计 1.如图，四边形ACDE,BCMN为正方形，AM_BD, MAC_BDC(填) 第1题 第2题2.如图，在ABC中，D在AB上，且CAD和CBE都是等边三角形，（1）DE_AB，（2）EDB=_3. 如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上任一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点.则CMN=_ 第3题 第4题4.已知：如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形.求证：BD=CE且BDCE总结与帮助放飞学生的心灵，尊重学生独特的体验探究学习是一种发现学习，具有深刻的问题性、广泛的参与性、丰富的实践性和开放性。它要求在教学过程中，以问题为载体，创设一种科学研究的情境，通过学生观察、分析、处理信息，独立地发现图形的内在联系和规律，获得知识技能，形成情感、态度、价值观的探究活动。 在课堂教学中，给学生的思想松绑，放飞学生心灵，尊重学生独特的体验，发挥学生积极创造力是十分必要的。这将改变过分强调接受性学习，死记硬背的状况，形成师生之间互动学习的良好局面，有利培养学生学习的主动性和积极