第22二次函数的图象与性质（三）

第二章二次函数 第2 2二次函数的图象与性质 三 修文县第二中学中学李廷江 想一想 二次函数y a x h k与y ax 的关系 在同一坐标系中作出二次函数y 2x2和y 2 x 1 2的图象 二次函数y 2 x 1 2 2的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系 1 完成下表 18 32 0 8 18 2 2 8 18 32 8 2 18 0 2 8 2 在同一坐标系中作出二次函数y 2x2和y 2 x 1 2的图象 比较二次函数y 2x2和y 2 x 1 2的图象 观察上表 你能发现2 x 1 2和2x2的值有什么关系 想一想 3 函数y 2 x 1 2的图象与y 2x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 4 x取哪些值时 函数y 2 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 2 x 1 2的值随x的增大而减少 观察图象 回答问题 二次函数y 2 x 1 2与y 2x2的图象形状相同 可以看作是抛物线y 2x2整体沿x轴向右平移了1个单位 是轴对称图形 对称轴是平行于y轴的直线x 1 顶点坐标为 1 0 x 1时 函数y 2 x 1 2的值随x值的增大而增大 x 1时 函数y 2 x 1 2的值随x的增大而减少 议一议 x取哪些值时 函数y 2 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 2 x 1 2的值随x的增大而减少 二次函数y 2 x 1 2与y 2x2的图象形状相同 可以看作是抛物线y 2x2整体沿x轴向右平移了1个单位 是轴对称图形 对称轴是平行于y轴的直线x 1 顶点坐标为 1 0 类似地 你能发现二次函数y 2 x 1 2的图象与二次函数y 2x2图象有什么关系 二次函数y 2x2 y 2 x 1 2 y 2 x 1 2图象的比较 二次函数y 2x2 y 2 x 1 2 y 2 x 1 2的图象都是抛物线 并且形状相同 将函数y 2x2的图象向右平移1个单位长度 就得到函数y 2 x 1 2的图象 将函数y 2x2的图象向左平移1个单位长度 就得到函数y 2 x 1 2的图象 二次函数y a x h 2的性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 a 0 y a x h 2 a 0 h 0 h 0 直线x h 直线x h 在x轴的上方 除顶点外 在x轴的下方 除顶点外 向上 向下 当x h时 最小值为0 当x h时 最大值为0 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 想一想P38 四个二次函数的图象完全相同 y 2x2的图象向下平移个单位长度 得到的图象 y 2x2的图象向左平移3个单位长度 得到y 2 x 3 2的图象 再向下平移个单位程度 得到的图象 二次函数y a x h k与y ax 的关系 议一议 二次函数y a x h k与y ax 的图象有什么关系 如图 已知抛物线l1的解析式是y 2x2 请你分别写出抛物线l2 抛物线l3 抛物线l4的解析式 1 抛物线l2的解析式是 2 抛物线l3的解析式是 3 抛物线l4的解析式是 y 2x2 2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 2 结论 一般地 平移二次函数y ax2的图象便可得到y a x h 2 k的图象 因此 二次函数y a x h 2 k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标如下表所示 二次函数y a x h k与y ax 的关系 一般地 由y ax 的图象便可得到二次函数y a x h k的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 因此 二次函数y a x h k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标与a h k的值有关 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直线x h 直线x h 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定 向上 向下 当x h时 最小值为k 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 悟出真谛 练出本事 1 指出下列函数图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 最大值或最小值 2 1 二次函数y 3 x 1 2的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 3 对于二次函数y 3 x 1 2 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4呢 做一做 开口方向 向上 对称轴 x 3 顶点坐标 3 3 ymin 3 开口方向 向下 对称轴 x 1顶点坐标 1 5 ymax 5 随堂练习P38 对于二次函数y 3 x 2 2 1 它的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 2 当x取哪些值时 y的值随x的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x的增大而减小 解 1 二次函数y 3x2的图象向左平移2个单位长度 再向下翻转1800得到二次函数y 3 x 2 2的图象 它们的形状大小相同 但开口方向不同 对称轴不同 顶点位置不同 最值不同 二次函数y 3x2的图象开口向上 对称轴是y轴 顶点 0 0 二次函数y 3 x 2 2的图象开口向下 对称轴是直线x 2 顶点 2 0 2 当x 2时 y的值随x的增大而减小 2 不同点 1 顶点不同 分别是 h k 和 0 0 2 对称轴不同 分别是直线x h和y轴 3 最值不同 分别是k和0 3 联系 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 1 相同点 1 形状相同 图象都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 二次函数y a x h k与y ax 的关系 知识的升华 P39习题2 41 2 3 4题 祝你成功 解 1 开口方向 向上 对称轴 x 3 顶点 3 5 2 开口方向 向下 对称轴 x 1 顶点 1 0 3 开口方向 向下 对称轴 x 0 顶点 0 1 4 开口方向 向上 对称轴 x 2 顶点 2 5 5 开口方向 向上 对称轴 x 4 顶点 4 2 6 开口方向 向下 对称轴 x 3 顶点 3 0 解 y 3x2的图象向右平移个单位长度