数学人教版八年级上册教案与反思.doc

线段垂直平分线的性质 教案师大附中高新实验中学数学组2016年06月01日教学课题：线段的垂直平分线的性质教学课时：课时1节教学目标： 知识与技能：1、掌握线段垂直平分线性质定理及判定定理。2、熟练地对性质定理及判定定理进行证明。3、能运用线段垂直平分线性质定理及判定定理解决某些问题。数学思考：1、探索线段垂直平分线性质，发展几何直觉。 2、体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。解决问题: 1、把现实问题数学化，建立数学模型，体会转化思想。 2、体会在解决问题过程中与他人合作的重要性并获得解决问题的经验。情感与态度:1、认识数学是解决实际问题的重要工具，体验数学的真实和内在魅力。2、通过基于案例的学习，培养学生应用数学的态度，激发学生的学习兴趣。教学重点：线段垂直平分线性质定理及其判定定理教学难点：线段垂直平分线性质定理与判定定理的关系教具准备：半透明的白纸、投影仪、三角板、圆规教学方法：探究讨论式教学 安排教学过程说明教师活动学生活动（一） 复习 导入： 前面我们学习了轴对称图形，今天我们继续学习线段的垂直平分线的性质，首先请同学们回忆一下上节课的有关知识。（板书课题）复习提问：1、 什么是轴对称图形？ (教师作答)2、线段的垂直平分线的定义是什么？3、线段是轴对称图形吗？怎样找到并画出它的对称轴？ 学生主动回忆轴对称图形的概念，并口述线段的垂直平分线的定义，思考并回答第三个问题。 复习本节课要用到的知识，温故知新。 （二）合 作探究一：1、动手试一试请拿出一张半透明的白纸，任意画一条线段，你能找到并画出这条线段的垂直平分线吗？2、 动手量一量如图，直线l垂直平分线段AB， P1 ， P2 ， P3 ，是l上的点，分别量一量点P1 ，P2 ，P3 ，到A与到B的距离，你有什么发现？（测量并记录3组数据）3、 用几何画板演示线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。4、大胆猜一猜引导学生作出大胆地猜想，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。1、拿出一张半透明的白纸，任意画一条线段，用自己的方式找到并画出这条线段的垂直平分线。2、 在自己画的图上测量或者直接测量书上的图形并记录数据，请两个同学到黑板上一个测量一个记录数据，其他同学也可以两个一组测量，验证垂直平分线的点到线段两个端点的距离是否相等？3、 认真观察几何画板的动画演示，做出大胆地猜想，思考证明方法。4、学生归纳并口述观察到现象，作出大胆猜想。引导学生先观察，做出猜想，再测量，接着用几何画板验证，最后证明结论。体现合作学习利用现代化的教学软件辅助教学。培养学生的探索精神。（三） 性质 定理1、证明定理引导学生思考怎么证明文字叙述题线段的垂直平分线地性质？问题（1）这个命题跟我们平时做的证明题有什么不一样？问题（2）用什么方法证明线段相等？证全等有理由，有条件吗？2、 性质的数学语言表示将已知和求证改为因为和所以。3、 性质定理的记忆引导学生边读边想图，做到心中有图，理解记忆。4、布置课堂小练，引导学生思考作答，总结利用性质定理关键是找到线段的端点和垂直平分线上的点。2、证明逆定理由刚才得到的定理，我们知道线段垂直平分线上的点，无一例外的满足“和一条线线段两个端点距离相等”。问题:能否在线段垂直平分线外找到一个点满足“到线段两个端点距离相等”呢？也就是说，满足条件的点是否一个不漏的都在线段的垂直平分线上。出示投影：和一条线两个端点距离相等的点有两种情况：点在线段上；点不在线段上。点在线段上,点为线段中点,该点也在线段的垂直平分线上；点不在线段上，点为以线段为底的等腰三角形顶点，该点也在线段的垂直平分线上。教师归纳： 从定理与逆定理可知，线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等所有点的集合。 1、学生观察并思考文字叙述题与一般证明题的不同点。2、学生看图说话口述已知和证明以及证明方法。学生思考并记忆。齐读定理，默念30秒种，闭上眼睛一起尝试背诵。学生思考并举手作答，并说明理由。小组讨论得出结论：(1) 除线段中点外，其它各点都能。(2) 到线段两端距离相等。归纳命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。证明定理：（让学生共同探讨并完成证明）让学生找出导入问题中的C点，解决那个问题。引导学生讨论，请学生介绍各自的思考思路和结果，教师帮助完善。让学生归纳出逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 学生自己完成逆定理证明。注意将文字语言转化成数学语言，写出已知和求证。掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化当场消化新课知识趁热打铁，巩固所学的知识。这里体现数学研究的一般方法：（1）把现实问题数学化；（2） 化归的思想（化陌生为熟悉，化无限为有限，化一般为特殊）。（四） 判定 定理合作探究二：提问1：同学们对性质定理还有什么疑问吗？引导学生将性质定理反过来说，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？问题2：怎样研究这个反过来的问题？问题3：怎样证明点在直线上？这个结论与性质有什么关系？结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。问题4：证明这个结论要不要添加辅助线？怎样添加辅助线？能不能直接作线段的垂直平分线？问题5：还有不同的证明方法吗？引导学生归纳作辅助线的方法，“作垂直证相等”或者“作相等证垂直”，并板书。教师投影证明过程，重点强调辅助线的作法，构造三角形全等，证明线段相等或者角相等。板书判定定理及其数学语言布置课堂小练问题6：性质与判定的联系和区别是什么？哪些命题既有性质又有判定？学生主动思考并提出问题解决问题。学生观察、猜想、证明。小组讨论，并派代表发言。学生口述辅助线的作法以及证明全等的方法。学生归纳证明方法，并观看投影，掌握判定的规范证明过程。学生口述说理过程，观看投影。学生填表并发现关系。在教材上用自己喜欢的方式把两个定理圈记起来。培养学生反过来思考问题的习惯。类比性质的研究方法。一题多证，发散思维。类比角平分线的学习（五）例题分析：问题7：线段垂直平分线上所有点是否能够作为以这条线段为底的等腰三角形的顶点？1、出示投影：例、如图，在ABC 中，BC=8，线段AB 的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，求ADE 的周长（标注关键线段）2、分析思路并板书过程。3、总结解题方法和思想：本题应用了转化的思想求三角形的周长，把未知线段通过轴对称转化为已知线段。4、 巩固练习：如图，ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？教师巡视，发现问题，并收集典型的错误，进行投影展示。5、 教师提问：通过解这个题同学们有经验跟我们分享？或者谈谈解这种类型题的困难所在。方法小结：利用线段垂直平分线的性质证明线段相等，是证明线段相等的又一方法。问题1：能否找到一个点，使它到ABC的三个顶点A、B、C的距离相等？ 这样的点若存在，有几个？如何找？在什么位置？利用投影（图略）展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中这个点的作法和位置。进而再问，通常“求作一点”的问题，我们的思路是什么？教师帮助归纳：找出满足各个条件的所有点组成的图形找出这些图形的公共部分问题2:如图,DE是ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E. C E B D A (1)若BD=3，则AD=_； (2)若B=40度，BAC=70度，则CAE=_度； (3)若AC=4，BC=5，则AEC的周长为_。学生体会线段垂直平分线又可以看成到线段两个端点距离相等的所有点的集合。1、请一个学生读题2、认真观察并找到线段的端点与垂直平分线的点，思考解题方法。2、学生先讲思路，教师详细地板书过程。学生自主练习，在本子上完成，请一个学生到黑板上板书。学生谈谈自己解题的感受和困难所在。引导学生运用集合的思想，采用交轨方法展开讨论，交流学生相互讨论的结果，教师完善。学生讨论并回答。学生本上完成并回答。联系小学所学内容和将来高中所学内容。师生合作，教学相长。例题规范板书，起到示范作用。充分暴露发现并解决问题，总结方法。让学生学会反思，学会总结。（六） 定理的应用在生活中其实我们经常要用到线段的垂直平分线的性质。请看下面这个问题。投影问题：市人民政府为了方便居民的生活，计划在马路l旁边修建一个购物中心，马路同旁有两个住宅小区A、B，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到两个小区的距离相等？拓展提高：市人民政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 小组讨论：把问题数学化。建立数学模型，把两个住宅小区分别命名为A、B，待建的购物中心为P，并画岀草图。根据讨论，不难得出应满足条件是购物中心P到A、B两住宅小区的距离相等，即P在线段AB的垂直平分线上。这是面向现实生活问题设计，旨在提供机会支持学生的探索、思考，引导学生进行基于案例的学习、基于问题的学习把现实问题数学化。前面的问题为拓展提高给学生做好铺垫。（七）共同小结：问题：我们这节课有那些收获？（知识与方法）生活中有哪些地方用到这些数学知识?今天我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，认识了两个重要的朋友，学习了三种语言，文字语言、图形语言、数学语言，要求掌握它们之间的相互转化。学会观察归纳，培养我们的几何直觉；通过推理证明提高我们的逻辑推理能力；学会转化，逐步提高我们的解决问题的能力。学会类比法，提高我们学习的效率。教师寄语：我