中级计量经济学 第八章 非线性模型和质量属性模型.ppt

第八章非线性模型和质量属性模型 主要内容 非线性模型估计方法二元因变量模型Probit模型Logit模型Tobit模型 参数非线性 当模型为参数非线性形式时 需要利用非线性估计技术 非线性模型的一般形式为 Yt f Xt b et t 1 T式中f 为一个可微分的非线性函数 b为K 1未知参数向量 X为K T解释变量矩阵 e为服从正态分布的误差项 此时我们无法将待估计参数表示为由已知的X和Y表示的线性函数 这种情况被称作参数非线性 非线性回归方程案例 例1 不变替代弹性生产函数 CES 假定模型有两个解释变量 其一般形式可以表示为式中 0为技术效率系数 1为分配系数 0 1 1 2为替代系数 3为规模报酬系数随机误差项服从正态分布 CD函数是CES函数的一个特例 替代弹性 1 非线性回归方程案例 例2 可变边际消费倾向宏观消费函数与该函数对应的边际消费倾向为 当 2 1时 边际消费倾向递增 反之递减 非线性最小二乘法 非线性最小二乘法的原理与线性最小二乘法相同 即求解使残差平方和最小的参数 在满足要求的条件下 模型参数可以由求解一阶条件构成的方程组得出 即 对于非线性方程 通常我们无法确保得到估计参数的解析解 但是能够利用数值逼近方法得到上述问题的解 非线性最小二乘法 求解非线性方程组的常用方法有 直接寻找法 Directsearch 即依据某种指标 如误差平方和 选择最优的结果 直接优化法 Directoptimization 即利用前述求偏导数的方法 直接通过求解方程组来得到参数估计 在应用工作中很少使用此方法 线性化迭代求解法 Iterativeliberalizationmethod 即从初始值开始将非线性函数线性化 然后求解线性议程 得到新的估计值 重复上述步骤 直到结果出现收敛时或达到最大迭代次数时为止 非线性最小二乘法 估计非线性最小二乘法包括以下步骤 在未给定初始值的情况下 利用OLS方法估计系数作为初始值 反之利用给定的初始值 在该组值求导以确定每个参数的变化方向及步长 或采用泰勒级数展开转化为线性方程求解得到新的参数估计值 重复上述过程 直到参数达到给定的收敛标准时为止 或达到最大迭代次数时为止 此时得到的结果包括最后一次计算得到的参数估计值 对应的渐近t统计值 R2值等 非线性最小二乘法 需要注意的是 非线性最小二乘法并不能够保证收敛到最优解 收敛速度缓慢收敛到局部最优解估计系数出现发散情况在应用工作中 当遇到上述情况时 一种做法是改变初始值 然后重新开始迭代过程 利用现有的计算机能力和软件 对模型重复做估计不会发生过高的费用 或要求过长的时间投入 局部收敛与全局收敛 SSE A C D 局部最优点 全局最优点 B 非线性最小二乘法估计量的性质 用于对线性回归模型做统计检验的方法无法直接应用于非线性回归模型 原因是我们无法由回归残差得到模型误差项方差的无偏估计 即使回归残差服从正态分布 在采用迭代法时 我们是对最后一次线性化后的估计结果应用标准线性模型的统计检验 这一方法依赖于最小二乘法在大样本时具有的一致性 对于一般形式的非线性模型 其估计参数b 的小样本特性仍不够清楚 但对于大样本特性则有较好的了解 假定解释变量X是非随机的 可以做出以下结论 b 是真实参数b的一致估计量b 服从渐近正态分布 根据中心极限定理 这两个结论与模型误差项et假定的分布无关 模型估计参数b的性质 假定对于任何观察值 其误差项et都服从标准正态分布 不同观察值之间误差项的协方差等于0 即 可以注意到 这些假定与古典线性模型相同 在此条件下有 当T趋于无穷大时 估计参数b 趋近于以真实参数b为均值的正态分布 因而b 是b的一个一致性估计量 样本的似然函数 样本的似然函数为 相应的对数似然函数为 b和s2的最大似然估计量是使似然函数实现最大值时对应的参数 样本的似然函数 前述的对数似然函数可以改写为 Ln L 与b无关的部分 SSE 2s2 由于s2 0 求解Ln L 对应于b的最大值等同于求解SSE对应于b的最小值 这意味着 在正态分布假定下 最大似然估计量与最小二乘法估计量是相同的 在模型为线性函数的情况下 s2的最大似然估计量为SSE T 不同于OLS方法得到的SSE T 1 由于最大似然估计量bl和sl2均为真实参数 b s2 的一致性估计量并且服从渐近正态分布 因而可以对非线性模型的估计参数做各种统计检验 对非线性函数的统计检验 当需要检验非线性函数的某些系数是否满足某个约束条件时 我们可以利用似然值比值检验方法 估计有系数约束和没有系数约束的模型 得到对应的似然值 分别用L r 和L ur 表示 似然值比值 L r L ur 该值在0和1之间 当 足够小时 我们拒绝与系数约束相对应的虚假设 利用得到的似然值计算得出以下统计量 该统计量服从自由度为m的 2分布 m为约束条件个数 利用EVIEWS估计参数非线性方程 EVIEWS软件包括了非线性最小二乘法估计方法 非线性最小二乘法估计指令与线性最小二乘法估计指令相同 但需要给出方程的数学表达式 其中用向量C i 代表第i个参数 在多数情况下 可以让EVIEWS利用线性最小二乘法自行估计初始值 并得到最终结果 如果使用上述方法出现在给定迭代次数下不收敛或收敛到异常的参数 可以通过检验R2 对数似然值和变量系数等方式做出判断 那么需要人工给出初始值 为了确定结果的可靠性 可以试不同的初始值 看是否都能够收敛到相近的结果 局部最优和全局最优 在方程组模型中也可以包括非线性方程 案例 不变边际消费倾向宏观消费函数 DependentVariable RCONSMethod LeastSquaresSample 19782002Includedobservations 25VariableCoefficientStd Errort StatisticProb C394 8546121 09233 2607740 0034RDY0 5199160 00884058 813920 0000R squared0 993395Meandependentvar6385 284AdjustedR squared0 993108S D dependentvar3944 278S E ofregression327 4567Akaikeinfocriterion14 49721Sumsquaredresid2466242 Schwarzcriterion14 59472Loglikelihood 179 2151F statistic3459 078Durbin Watsonstat0 378861Prob F statistic 0 000000 案例 可变边际消费倾向宏观消费函数 DependentVariable RCONSMethod LeastSquaresSample 19782002Includedobservations 25Convergenceachievedafter1iterationsRCONS C 1 C 2 RDY C 3 CoefficientStd Errort StatisticProb C 1 493 4338392 55351 2569850 2219C 2 0 4028150 3095741 3011930 2067C 3 1 0248060 07330713 979730 0000R squared0 993554Meandependentvar6385 284AdjustedR squared0 992968S D dependentvar3944 278S E ofregression330 7626Akaikeinfocriterion14 55285Sumsquaredresid2406885 Schwarzcriterion14 69911Loglikelihood 178 9106Durbin Watsonstat0 385993 案例 可变边际消费倾向宏观消费函数 WaldTest Equation EQ3NullHypothesis C 3 1F statistic0 114510Probability0 738275Chi square0 114510Probability0 735067 根据该检验结果 我们应该接受不变边际消费倾向函数形式 有限因变量模型 LimitedDependentVariables 有限因变量模型涉及因变量只是做性质区分的情况及其取值范围受到某种限制的情况 包括 二元选择模型 因变量反映二者挑一的选择 例 是否采纳某种技术多元选择模型 因变量反映多种选择 例 上班时多种交通工具的选择截取模型 因变量反映在某一数值区间内的选择例 某种技术采纳的程度随着计量经济学软件的改进 有限因变量模型逐步得到广泛应用 有限因变量模型 有限因变量模型的一般形式可以表达为 P y 1 x G b0 xb y b0 xb u y max 0 y 式中P 表示事件发生的概率 y 是一个隐变量 Latentvariable 其值大小取决于影响因素x 而y 决定事件发生的概率 当y 0时y 1 当y 0时y 0 可以选择其他临界值 二元因变量模型是有限因变量模型的一种特殊形式 二元因变量模型用于评价政策 在评价某项政策计划 或技术应用 产生的影响时 常常可以用虚变量作为模型的因变量 例如 是否参与某政策计划 当所分析对象参与该某政策计划时D 1 否则D 0 是否采纳某种 新 技术当所分析对象采纳该技术时D 1 否则D 0 农业劳动力转移当农户家庭中有劳动力实现转移时D 1 否则D 0 农户土地流转 借贷行为 政府提价 自我选择问题 在很多情况下 是否选择参与某政策计划或是否采用某生产技术是由微观行为主体选择的 由此导致了自我选择问题 如果我们能够掌握影响是否参与及结果的因素 那么这不成为一个问题 然而经常出现的情况是 有一些无法观察的因素影响到是否参与 在此情况下 估计政策的效果可能出现偏差 这可能导致制定错误的政策 隐变量 LatentVariables 建立二元因变量模型有时是出于在模型中以隐变量作为因变量的考虑 这样做的基本思路是 我们可以用模型y b0 xb e来反映隐变量 但实际只能观察到以下两种情况 当y 0时y 1当y 0时y 0 二元因变量模型 二元变量模型指因变量取值只为0或1的情况 我们可以将其看作是一种选择决策模型 当选择时y 1 未选择时y 0 我们可以用线性概率模型来研究这种情况 模型可以写作P y 1 x b1x1 bKxKbj表示当xj变化时概率的变化利用该方程推断的y值表示选择的概率 一个问题是 推断的概率值可能在区间 0 1 之外 线性概率模型 Z 1 Z 线性概率函数 利用OLS方法估计得到的线性概率函数的参数仍反映自变量一单位变化对选择该事件概率的影响 二元因变量模型 即使没有上述推断问题 我们利用线性概率模型推断的X变化对概率的影响也会大于1或小于 1 因而只有在均值附近才较为可靠 线性概率模型违反了古典模型同方差的假定 因而估计结果的有效性下降 影响到利用模型所做的推断 尽管存在这些缺点 对于分析工作 线性概率模型仍是一个很好的起点 为了解决这一问题 我们可以用一种概率函数G b0 xb 来模拟事件发生的概率 该函数满足0 G z 1 Probit模型和Logit模型 Probit模型G z 的一种可选形式是标准正态累积分布函数G z F z f v dv式中f z 2p 1 2exp z2 2 为标准正态分布函数Logit模型G z 的另一种可选形式是逻辑曲线 它是标准逻辑累积分布函数 G z exp z 1 exp z Probit模型和Logit模型 Probit模型和Logit模型 Probit模型和Logit模型均为非线性函数 不能用常规的OLS方法估计 而要用最大似然法估计 maximumlikelihoodestimation 在图形上 这两种函数的形状非常类似 均随着Z的增大而上升 在接近零时上升最为迅速 没有任何理由表明哪一个模型更可取 过去的研究中使用Logit模型的情况较多 这是因为该模型较容易计算 现有的计量经济学软件提供了两种模型的计算程序 因而都很容易计算 对Probit模型和Logit模型的解释 利用概率模型做分析时 我们关心的通常是X的变化如何影响概率P y 1 x 即 p x 对于线性概率函数 X的影响可以很容易的从其回归系数得知 对于Probit模型和Logit模型 计算这一影响的方法较为复杂 p xj g b0 xb bj 式中g z 表示dG dz 对Probit模型和Logit模型的解释 因而 对三种形式的函数中X的系数直接做比较是不正确的 但仍可以通过比较估计系数的符号和显著性来确定哪些变量最可能产生影响及其影响方向 为了比较X变化所产生影响效果的大小 我们需要计算相应的导数 一般取变量的均值做计算 有些计量经济学软件 如Stata 可以直接提供这些结果 拟合优度 对于线性概率模型 我们可以直接得到R2来判断拟合优度 对于Probit模型和Logit模型 则需要利用新的方法来反映拟合优度 一种方法是利用对数似然值计算伪R2 pseudoR2 该值定义为1 Lur Lr另一种方式是根据模型做出的正确推断当计算出的概率大于0 5时 我们认为该事件发生了 即y 1 反之则认为事件未发生 似然值比率检验 对于线性概率模型 我们可以利用F统计值或LM统计值检验是否可以排除某些变量 对于Probit模型和Logit模型 则需要采取新的方式进行这样的检验 在利用最大似然法估计Probit模型和Logit模型时 我们同时也获得了对数似然值 我们可以估计有系数限制和没有系数限制的模型 然后利用得到的两个对数似然值进行检验 用EVIEWS估计二元因变量模型 EVIEWS包括估计单方程有限因变量模型的程序 在录入数据和给出变量表后 调用指令 Quick Estimateequation 模型选项Binary Binarychoice Logit Probit Extremevalue Ordered Orderedchoice必要时给出选项估计结果 截取数据 当样本是总体中的某个特殊子集时 我们遇到数据被截取的情况 例1 针对贫困户的调查资料例2 对有借款行为农户的调查此时只观察到该特殊子集的各项资料 没有获得有关其他对象的观察资料 此时出现样本对总体的代表性问题 审查数据 若样本本身在总体中的分布具有代表性 但当数据由于报告制度而使某些信息被高度简化时 我们遇到审查后的数据情况 例 农户收入的调查中将低于某一水平的农户全部报告为贫困户而没有报告具体收入数据 审查数据仍有关于自变量的信息 审查数据情况可以被看作是数据本身存在缺点 截取数据和审查数据 从统计技术角度讲 由于两种情况均导致随机变量的分布形式发生变化 并引起丢失解释变量错误 因而利用OLS方法估计模型会出现估计系数偏差 在很多应用工作中 人们常常利用有限因变量模型处理存在上限 下限或上下限的数据 而不去认真地考虑数据体现何种性质 隐变量 LatentVariables 对于截取数据模型或审查数据模型 均可以借鉴二元因变量模型引入的隐变量概念 模型中的隐变量是解释变量的函数y b0 b x u然而我们从实践中只能观察到y max 0 y 即 当y 0时y y 当y 0时y 0 Tobit模型 Tobit模型适合处理隐变量为多元因变量的情况 例如y xb u u x N 0 s2 但我们只观察到y max 0 y Tobit模型利用最大似然法估计模型参数b和s 需要认识到的是 b估计的是X对隐变量y 的影响 而不是对y的影响 对Tobit模型的解释 除非我们所关心的是隐变量y 我们不能只解释所得到的系数 由于E y x F xb s xb sf xb s 因而有 E y x xj bjF xb s 如果误差服从正态分布和同方差两个假定不成立 那么Tobit模型可能失去意义 如果X对P y 0 和E y 的影响效果方向相反 那么Tobit模型是不适当的 审查回归模型和截取回归模型 Censored TruncatedRegressionModels 我们可以估计更一般化的隐变量模型 例如 y xb u u x c N 0 s2 当从右边censored时 我们只能观察到 w min y c 当从左边censored时 我们只能观察到 w max y c 若当超过某个censoring点后所有的数据均出现丢失时 我们遇到了截取回归模