江西景德一中高二数学上学期期中理

江西省景德镇一中2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则2. 已知两个等差数列（和）的前n项和分别为An和Bn，且，则=（）A. B. C. D. 3. 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A. 11B. 10C. 9D. 84. 设实数x，y满足约束条件，则z=-3x+y的最小值是（）A. 1B. C. D. 5. 若关于x的不等式|ax-2|3的解集为，则a=（）A. B. 2C. 3D. 6. 在等比数列an中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（）A. 或B. C. D. 或7. 方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（）A. B. 或C. D. 8. 已知1a+b4，-1a-b2，则2a-4b的取值范围是（）A. B. C. D. 9. 数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a7=（）A. B. C. D. 10. 数列an满足a1=1，对任意nN*都有an+1=an+n+1，则=（）A. B. C. D. 11. 已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列an的前n项和，则的最小值为（）A. 4B. 3C. D. 212. 若数列an，bn的通项公式分别是，且anbn对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 不等式的解集为_14. 数列an中，a1=-60，且an+1=an+3，则这个数列的前40项的绝对值之和为_15. 下列结论正确的序号是_当x2时，的最小值为2当x0时，当0x2时，无最大值当x0且x1时，当时，16. 在数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和为Sn满足，设，数列bn的前n项和为Tn，则满足Tn6的最小正整数n是_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知不等式ax2-3x+20的解集为A=x|1xb（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）=（2a+b）x-（xA）的最小值18. 已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|（）求不等式f（x）8的解集；（）若关于x的不等式f（x）|3m+1|有解，求实数m的取值范围19. 已知数列an满足a1=1，an+1=3an+4，nN*（）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式；（）设bn=（a2n+2）log3（an+2），求数列bn的前n项和Tn20. 设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3（1）若不等式f（x）-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）a-2（aR）21. 已知数列an满足（1-）（1-）（1-）=，nN*，Sn是数列an的前n项的和（1）求数列an的通项公式；（2）若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；（3）是否存在kN*，使得为数列an中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由22. 已知数列an中，a1=1，a2=a，且an+1=k（an+an+2）对任意正整数n都成立，数列an的前n项和为Sn（1）若，且S2019=2019，求a；（2）是否存在实数k，使数列an是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，求Sn答案和解析1.【答案】B【解析】解：A取a=2，b=-3满足条件，则a2b2不成立；B由a|b|，利用不等式的基本性质可得：a2b2，成立；C取a=-2，b=1满足条件a2b2，则a|b|不成立；Da2b2|a|b|，则不成立故选：B利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.【答案】D【解析】解：依题意，数列an和bn为等差数列，所以A9=9a5，同理B9=9b5，所以=故选：D因为数列an和bn为等差数列，所以A9=9a5，B9=9b5，将转化为即可本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项与前n项和的关系，属于基础题3.【答案】B【解析】解：设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为d则S7=28，a2+a5+a8=15，则7a1+21d=28，3a1+12d=15，解得a1=1，d=1a10=1+91=10故选：B设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为d利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.【答案】C【解析】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下，化z=-3x+y为y=3x+z，从而可得当过点（3，1）时，有最小值，故z=3x+y的最小值为-33+1=-8故选：C由题意作平面区域，化z=-3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用5.【答案】C【解析】解：不等式|ax-2|3可化为-3ax-23，即-1ax5；当a0时，解不等式得-x，由不等式的解集为，得a=3；当a=0时，不等式的解集为R，不满足题意；当a0时，解不等式得x-，不满足题意；综上知，a=3故选：C去掉绝对值，不等式化为-1ax5，讨论a0和a=0与a0时，解不等式求得a的值本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题6.【答案】B【解析】解：等比数列an中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，a2+a14=5，a2a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，故有a2a14=6，a8=再根据a8=a2q60，a8=，故选：B由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题7.【答案】A【解析】解：令f（x）=x2-2ax+1，方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，1a，a的取值范围为（1，）故选：A令f（x）=x2-2ax+1，根据条件可得，然后解出a的范围本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数思想，属基础题8.【答案】A【解析】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2a-4b过点A（，）时，z最小是-7，当直线z=2a-4b过点B（，）时，z最大是5，故选：A先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2a-4b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题9.【答案】A【解析】解：数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），当n2时，-得an+1-an=3an，所以，所以数列an是以3为首项，4为公比的等比数列所以所以故选：A直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10.【答案】B【解析】解：数列an满足a1=1，对任意nN*都有an+1=an+n+1，即有n2时，an-an-1=n，可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）=1+2+3+n=n（n+1），=2（-），则=2（1-+-+-）=2（1-）=故选：B由题意可得n2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得=2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题11.【答案】A【解析】解：a1，a3，a13成等比数列，a1=1，a32=a1a13，（1+2d）2=1+12d，d0，解得d=2an=1+2（n-1）=2n-1Sn=n+2=n2=n+1+-22-2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选：Aa1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d0，解得d可得an，Sn代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值12.【答案】C【解析】解：当n为奇数时，an=-a，bn=2+，且当n增加时，bn减少；（bn）min=2；anbn对任意nN*恒成立-a2，即a-2；当n为偶数时，an=a，bn=2+，且当n增加时，bn增加；（bn）min=2-=；anbn对任意nN*恒成立a综上可得：-2a故选：C分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围，再综合到一起即可本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目13.【答案】【解析】解：由得，或，解得，原不等式的解集为故答案为：可将不等式转化为不等式组为或，解不等式组即可本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题14.【答案】570【解析】解：数列an中，a1=-60，且an+1=an+3，则an+1-an=3（常数），故数列an是以首项为a1=-60，公差为3的等差数列所以an=-60+3（n-1）=3n-63，当n=21时，a21=0，当0n21，|an|=-an，则Sn=|a1|+|a2|+|an|=-（a1+a2+a3+an）=-=当n22时，|an|=an，则Sn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-a21+a22+an，=-2（a1+a2+a21）+（a1+a2+a3+an），=-，=630+，当n=40时，=630-60=570故答案为：570首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型15.【答案】【解析】解：当x2时，y=单调递增，最小值为x=2时，y=2.5，故不成立；当x0时，当x=1时成立，当0x2时，y=，y=，递增，x=2时，取最大值，故有最大值，当x0且x1时，lgx可能小于0，故不成立，当时，x0，y0，而，故利用基本不等式，又x不等于y，故成立故答案为：分别利用对勾函数y=的单调性和最值，y=x-的单调性，基本不等式判断即可考查了对勾函数y=的性质，y=x-的性质，基本不等式的应用，基础题16.【答案】10【解析】解：数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和为Sn满足，整理得，所以（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，则，所以=，所以（n+1）（n+2）128，所以当n10时，满足条件故答案为：10首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型17.【答案】解：（1）由题意知：，解得a=1，b=2；（2）由（1）知a=1，b=2，A=x|1x2，而x0时，当且仅当，即时取等号，而，f（x）的最小值为12【解析】本题主要考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题（1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论；（2）利用基本不等式，可求函数的最小值18.【答案】解：（）不等式f（x）8，即|2x+3|+|2x-1|8，可化为或或，解得-x-，解得-x，解得x，综合得：-x，即原不等式的解集为x|-x（）因为f（x）=|2x+3|+|2x-1|（2x+3）-（2x-1）|=4，当且仅当-x时，等号成立，即f（x）min=4，又不等式f（x）|3m+1|有解，则|3m+1|4，解得：m-或m1【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题（）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可19.【答案】证明：（）数列an满足a1=1，an+1=3an+4，整理得an+1+2=3（an+2），nN*即（常数），所以数列an+2是以3为首项，3为公比的等比数列故，整理得（）由于，所以bn=（a2n+2）log3（an+2）=n9n，所以，9，-得：=，所以【解析】（）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式（）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题20.【答案】解：（1）由条件知不等式f（x）-3对一切实数x恒成立；即ax2+（1-a）x+a0对一切实数x恒成立；当a=0时，x0，显然不能恒成立；当a0时，要使得ax2+（1-a）x+a0对一切实数x恒成立，满足，解得a；综上述，实数a的取值范围是，+）（2）由条件化简不等式f（x）a-2，得ax2+（1-a）x-10，当a=0时，不等式等价于：x-10，x1，不等式的解集为（-，1）；当a0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；当a0时，1，不等式等价于（x-1）（x+）0，不等式的解集为（，1）；当a0时，不等式等价于（x-1）（x+）0，当-1a0时，1，不等式的解集为（-，1）（-，+）；当a=-1时，1=，不等式的解集为x|x-1当a-1时，1，不等式的解集为（-，）（1，+）；【解析】（1）根据条件不等式f（x）-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a0对一切实数x恒成立；分a=0和a0两种情况讨论，即可得出结论；（2）不等式f（x）a-2代入化简得ax2+（1-a）x-10，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题21.【答案】解：（1）数列an满足（1-）（1-）（1-）=，可得1-=，可得a1=2，当n2时，（1-）（1-）（1-）=，由可得（1-）=，即有an-an-1=1，可得an=2+n-1=n+1，nN*；（2）Sn=，ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，可得ap+Sq=60，apSq=182=324，即有p+1+=60，（p+1）=324，解得p=5，q=9；（3）假设存在kN*，使得为数列an中的项，即有，可令=n+1，即有（k+1）（k+2）=（n-3）（n+5），由（k+1）（k+2）为偶数，可得n为大于3的奇数，即有n=5，k=3；n=15，k=14则存在正整数k=3，14，使得为数列an中的项【解析】（1）由等式可得a1=2，将n换为n-1，两式相除可得an-an-1=1，由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等差数列求和公式和等差数列、等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值；（3）假设存在kN*，使得为数列an中的项，即有，可令=n+1，由两边平方和因式分解，列举即可得到所求值本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列、等比数列中项性质，以及方程思想和存在性问题的解法，考查推理能力与计算能力，属于较难题22.【答案】解：（1）k=，an+1=（an+an+2），数列an为等差数列，a1=1，a2=a，公