第四章 判断(二).doc

第四章 判断（二）前一章我们介绍了非模态判断中的直言判断和关系判断，它们都是简单判断。这一章我们着重介绍非模态判断中的复合判断和模态判断。复合判断是包含其他判断的判断，它通常是由两个或两个以上的简单判断组成的。例如：（1）如果ABC是Rt，那么其两直角边的平方和等于其斜边的平方。（2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。这两个判断都是复合判断。构成复合判断的简单判断称为复合判断的肢判断，上例中的“如果那么”是把几个肢判断联结起来的联结词（或联项）。这样的联结词还有“不但而且”、“只要就”等。根据复合判断所用的联结词的性质不同，可将其分为：联言判断、选言判断、假言判断以及负判断等。第一节 联言判断一 什么是联言判断联言判断亦称为合取判断，是一种复合判断。联言判断是断定几种事物情况同时存在的判断。它反映的是同一对象或不同对象的不同属性的共存性和相容性。例如，“矩形的对角线不但互相平分，而且还相等。”联言判断是由两个或两个以上的简单判断组成的。联言判断所包含的简单判断叫做联言肢。各联言肢之间一般用“并且”这样的逻辑联结词作为联结项。在汉语里表达联言判断的联结词还有：“而且”、“既是又是”、“不但而且”、“不是而是”、“既要又要”、“一方面又一方面”、“不仅也”等等。联言判断的一般形式是：p并且q 。其中，p和q 表示肢判断，“并且”是联结词，可用符号“”表示。于是，p并且q可以表示为pq。二联言判断的真假任何判断都或是真的，或是假的，这种或真或假的性质叫做判断的真假值，或叫判断的逻辑值。联言判断也是判断，所以联言判断也具有真假。由于联言判断同时断定了事物的几种情况，因此，联言判断的真假取决于其联言肢的真假。一个联言判断，当且仅当每个联言肢都是真的，这个联言判断才是真的。其中只要有一个联言肢是假的，则整个联言判断就是假的。以p、q分别表示联言肢，以“”这个合取符号表示联结词“并且”，则联言判断的真假与联言肢的真假关系，可用下列真假表来表示：从右面真假值表可以断定一个联言判断“pq”（读作pqP并且q(pq)真真真真假假假真假假假假p并且q），只有其联言肢都是真的，该联言判断才是真的；只要有一个联言肢是假的，则该联言判断就是假的。如果仅从联言判断形式的真假方面来考虑，则联言判断的真假与联言肢的真假有直接关系，而与联言肢的顺序无关。也就是说，如果p是真的，q也是真的，那么“pq”是真的，“qp”也是真的。例如，“地球上有高级动物，金星上也有高级动物。”第二节选言判断一什么是选言判断选言判断，亦称析取判断，它是一种复合判断，它断定在几种可能的事物情况中至少有一种事物情况存在。例如：（1） 一个三角形或者是直角三角形，或者是钝角三角形，或者是锐角三角形。（2） 能被5整除的数末位或者是0，或者是5。这种断定事物的几种可能情况的判断就是选言判断。选言判断总是由两个或两个以上的肢判断构成的。选言判断的一般形式有：p或者q。要么p要么q。p、q表示选言判断的肢判断，“或者”、“要么”是联结词。在汉语里，表达选言判断的联结词的还有：“或者或者”、“也许也许”、“可能也可能”、“不是就是”、“二者必居其一”等等。二选言判断的种类.选言判断的肢判断所断定的事物情况，有的是相容的，有的是相互排斥互不相容的。因此，选言判断可分为相容的选言判断和互不相容的选言判断。为了便于推演，人们用符号（读作：或者）表示相容的析取，用符号（读作：要么要么）表示不相容的析取。（一）相容的选言判断是断定事物的几种可能情况可以同时存在的判断。相容的选言判断的各选言肢可以都是真的，而只要有一个选言肢是真的，整个选言判断就是真的。如果包含在相容的选言判断里的肢判断都是假的，则这个选言判断就是假的。例如，“他学习不好，或者由于他的基础太差，或者由于他的学习方法不好，或者由于他不努力。”这是相容的选言判断，其中包括的选言肢可以不只一个是真的。相容的选言判断的逻辑形式是：p或者q，以符号表示为：pq相容选言判断的真假值与其选言肢的真假值的关系，可以用下列真假值表表示（见右表）pqP或q(pq)真真真真假真假真真假假假（二）不相容的选言判断就是断定事物有几种可能的情况，而这些可能的情况不能同时存在，只能有一种情况可以存在。这就是说，不相容的选言判断是最多只有一个选言肢为真的选言判断。不相容的选言判断的各肢判断，不能同真，也不能同假。如果只有一个肢判断为真，则这个选言判断就是真的；如果有两个或两个以上的肢判断为真，或者各肢判断都是假的，则这个选言判断就是假的。例如，“从装有红、蓝两色球的口袋中摸出一球，或者为红色，或者为蓝色。”又如，“一个三角形，要么为锐角三角形，要么为钝角三角形，要么为直角三角形。” 这些都是不相容的选言判断。不相容的选言判断的逻辑形式是：要么p,要么q，以符号表示则为：pq不相容的选言判断的真假值与其选言肢的真假值的关系，可以用下列真假值表表示：pq要么P，要么q(pq)真真假真假真假真真假假假从右表可以看出，当不相容选言判断的两个肢判断同是真的或同是假时，不相容的选言判断是假的；当不相容的选言判断的肢判断中只有一个是真时，不相容的选言判断才是真的。选言判断虽然不像直言判断那样是对客观事物直接有所断定，但它提出客观事物的几种可能性，估计到情况的各个方面，为进一步分析问题提供基础，为人们认识问题指明范围，为解决问题提供线索，使人们能了解事物发展的几种可能性，以便创造条件，力争实现最好的可能。第三节 假言判断一什么是假言判断假言判断也是一种复合判断。它是反映客观事物之间条件与结果关系的判断，它断定一类情况的存在是另一类情况存在的条件。假言判断又叫条件判断。例如，“如果两条直线相交，那么经过这两条直线有且只有一个平面。”假言判断是由两个肢判断组成的，条件和结果有先后次序的不同，我们把表示条件的肢判断叫做前件，表示结果的肢判断叫做后件。前件和后件在逻辑上表现为理由和推断的关系。如果以p表示前件，以q表示后件，则假言判断的一般形式有：如果p，那么q。只有p，才q。 或 非p，则非q。当且仅当p，则q。P代表前件，q代表后件；“如果，那么”、“只有才”、“当且仅当”等等，是逻辑联结词。形式逻辑不研究有具体内容的假言判断的前件和后件的关系，这是各门具体科学的事。一般地，形式逻辑是研究假言判断前后件的逻辑联系，并从肢判断的真假方面，来研究假言判断真假的逻辑性质。二 假言判断的种类由于假言判断是断定客观事物之间条件与结果的关系的判断，因此，对于任何一个假言判断来说，明确其前、后件之间是什么样一种条件联系，就是非常重要的了。不同的条件联系构成不同性质的假言判断。就条件来说，有充分条件、必要条件和既充分又必要的条件。因而，作为反映这种不同的条件关系的假言判断，也可分为三种，即充分条件的假言判断，必要条件的假言判断和充分必要条件的假言判断。（一）充分条件的假言判断充分条件是这样一种条件，有了它一定有某一结果，没有它不一定没有这个结果。简言之，有之必然，无之未必不然。即有p 必有q，无p未必无q，p就是q的充分条件。具有这样条件关系的假言判断，就是充分条件的假言判断。例如，“若某数能被6除尽，则它就能被2除尽。”在这里，只要前件“某数能被6除尽”成立，那么后件“它能被2除尽”就一定成立。又如，“同位角相等，两直线平行。”如果我们用p、q分别表示一个假言判断的前件和后件，用符号“”表示前件和后件之间的充分条件关系（亦称蕴涵），那么，充分条件假言判断的逻辑形式：如果p，那么q。用符号表示为：pq(读作：如果p，那么q)。充分条件假言判断的真假，决定于前件所断定的事物情况是不是后件所断定的事物情况的充分条件。如果前件所断定的事物情况是后件所断定的事物情况的充分条件，那么，这个充分条件的假言判断就是真的，否则就是假的。所谓前件（或后件）是真的，就是前件（或后件）所断定的事物情况存在；所谓前件（或后件）是假的，就是前件（或后件）所断定的事物情况不存在。因此，所谓前件是后件的充分条件，也就是说，前件是真的，那么后件一定是真的；如果前件是真的而后件是假的，那么，这个假言判断就是假的，从另一方面来看，如果前件是假的，那么，后件可以是真的，也可以是假的。所以，当一个充分条件假言判断是真的，它的前件与后件就有下面几种真假情况：（）前件真，后件真；（）前件假，后件真；（）前件假，后件假。如果一个充分条件的假言判断是假的，即当它的（）前件真，后件假，在这种情况下，它就是假的。例如，判断“若某数能被整除，但它不能被整除。”的前件真而后件假，那么，很明显，这个假言判断是假的。充分条件假言判断的真假值及其与前后件真假值之间的关系，可用下列真假值表表示：pq如果p，那么q(pq)真真真真假假假真真假假真从右面这个表中，我们可以看出，一个充分条件假言判断，只有当它的前件真而后件假时，整个充分条件的假言判断才是假的。在其他情况下，都是真的。明确这一点，对于我们准确把握充分条件假言判断的逻辑特性来说是非常重要的。但应注意，我们在实际思维论断过程运用充分条件的假言判断时，并不只是考虑其前后件的真假组合，更重要的，还是要考虑其前后件在实际上是否有条件与结果的联系。（二）必要条件的假言判断必要条件是这样一种条件，没有它一定不会有某种结果，有了它不一定有这种结果。简言之，无之必不然，有之未必然。即无p必无q，有p未必有q，p就是q的必要条件。具有这种条件关系的判断就是必要条件的假言判断。例如：（1）只有x2=y2，才会有x=y。（2）一个数不是整数，这个数就不会是偶数。（3）不入虎穴，焉得虎子。这两个判断都断定没有前件情况的出现，就不会有后件情况的出现。在汉语中，必要条件假言判断常用的联结词有：“只有才”、“必须才”、“不就不”、“除非才”、“没有就没有”等等。必要条件假言判断的逻辑形式是：pq，符号表示否定，p则q，表示非p，则非q。它的含义等价于只有p，才q。必要条件假言判断的真假值及与其前后件真假值之间的关系，可以用下列真假值表表示；pq只有P，才q(pq)真真真真假真假真假假假真从右表可以看出，一个必要条件的真假值，只有当其前件假而后件真时，该假言判断才是假的；在其他情况下，都可以是真的。分析例（1），就可以看到，如果x2y2时，也有x=y，那么“只有x2=y2，才会有x=y。”这一假言判断才是假的。即前件假而后件真时，必要条件假言判断是假的。 （三）充分必要条件假言判断充分必要条件（简称充要条件）是充分条件和必要条件的结果。充要条件就是有了它一定有某一结果，没有它就一定没有这一结果。简言之，有之必然，无之必不然。即有p必有q，无p必无q，p就是q的充分必要条件。具备这样条件的假言判断就是充分必要条件假言判断。它是把“如果p，那么q”，“只有p才q”两者相结合的假言判断。这种假言判断，前件是后件的充分必要条件，后件也是前件的充分必要条件。例如：（1）（2）一个三角形是等边三角形，当且仅当它是等角三角形。这些都是充分必要条件的假言判断。充要条件的假言判断的一般形式为：p当且仅当q，用符号表示为：pq符号表示互为充分必要条件，也称之为等值，即有p则有q，无p则无q，有p就有q，无p就无q，亦即当且仅当p，才q。在通常的汉语中，没有一个可以恰当准确的表达充要条件的联结词的词语。当且仅当的表达方式，仅见于数学著述，在日常语言中是不常用的。下面的一些词语，可以勉强表达充要条件的联结词。 “如果那么，而且，只有才”、“如果那么并且如果不那么不”、“只要并且只有才（就）”等等。在文章和著作中有时还用表达成分条件的连接词“如果那么”，表示充要条件假言判断。充分必要条件假言判断还可以省略联结词。因此，看一个假言判断是不是充要条件假言判断，还要看前件与后件所断定的实际关系。例如，“一条射线是角的平分线，这条射线上的任意一点到角的两边的距离相等。”另外，由于充要条件假言判断比较复杂，不易辨析，所以有时需要用两句话来表达。例如，“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。”充分必要条件的假言判断的真假值与前后件真假值之间的关系，可以用下列真假值表表示： pqP当且仅当q(pq)真真真真假假假真假假假真从前件和后件真假值来考虑，如果一个充要条件假言判断是真的，它的前件和后件有下面两种情形：前件真，后件假；前件假，后件假。如果一个充要条件的假言判断是假的，也有下面两种情况：前件真，后件假；前件假，后件真。在日常生活和科学研究中，人们广泛地应用假言判断来表达对客观事物的认识和预见。因此在运用这种判断时，准确地把握前后件联系的性质、真假关系、是非常重要的。在这里，应该指出的是，形式逻辑与符号逻辑不同，它在研究假言判断的真假时，是以其前后件所具有的条件关系为前提的。在这一点上它不同于符号逻辑。符号逻辑在研究假言判断（如所谓实质蕴涵）时，只考虑前后件的真假，而不管前后件有无条件关系。例如，在符号逻辑中，像“如果22=5，那么雪是白的”这样的假言判断尽管它的前后件毫无条件的联系，但却是真的，有意义的。而从普通形式逻辑的角度来看，其前后件之间，不具有条件与结果的联系，因之，认为它是没有意义的。第四节 负判断一 什么是负判断负判断是一种特殊的复合判断，它是由否定一个判断而构成的判断。例如，“所有胎生动物都不是在水中生活的。”这个判断的负判断就是：“并非所有胎生动物都不是在水中生活的。”负判断就是对一个判断的否定。以 p表示一个判断，以符号表示否定，并把它置于p的前面，则判断p的负判断就是p（读做“非 p”）。在汉语中，一个p的负判断常用下列形式表示：“并非p”、“并不是p”、“非p”、“p是假的”等等。必须指出，一个判断的“p”的负判断，是一种复合判断，是对整个判断p的否定。它不同于否定判断。否定判断，比如E判断或O判断，是否定判断的主项所指的对象具有谓项所指的性质。上面“所有胎生动物都不是在水中生活的。”是个全称否定判断（E），而不是负判断。“并非所有胎生动物都不是在水中生活的。”才是负判断，它是对全称否定判断的否定，即并非E。在判断“p”的负判断“并非p”中，包括了一个判断“p”。和否定词。对非p的否定，即双重否定则等于p。“并非p”的真假值取决于“p”的真假。如果“p”是真的，pp真假假真则“并非p”就是假的；如果“p”是假的，则“并非p”就是真的。这就是说，一个判断与它的负判断之间的真假关系，是矛盾关系。这种矛盾关系表达如右：二 各种判断的负判断由于判断可以分为简单判断和复合判断，因之，负判断也有两种：一种是简单判断的负判断，简称负简单判断；一种是复合判断的负判断，简称负复合判断。（一） 负简单判断简单判断包括直言判断和关系判断，这里只讲直言判断的负判断。直言判断概括起来有四种形式：全称肯定（A）、全称否定（E）、特称肯定（I）、特称否定（O）。对A、E、I、O四种判断形式的否定，就有A、E、I、O这四种判断形式。这就是说，任何一种直言判断都可以对其进行否定而得到相应的负判断。一般地说，直言判断的负判断实质上就是对当关系中的相应的矛盾判断。A判断的负判断是A，即断定A假。根据直言判断之间的对当关系，A假则O真。这就是说：“A假等价于O真”。以公式表示，就是：AO（读作“非A等价于O”）。例如，“并非所有金属都是固体”等价于“有些金属不是固体”。E判断的负判断是E，即断定E假。根据对当关系，E假则I真。例如，上例中的“并非所有的胎生动物都不是在水中生活的”，它等价于“有的胎生动物是在水中生活的。”这种关系以公式表示，就是EI（读作“非E等价于I”）。I判断的负判断是I，即断定I假。I假则E真，就是说“I假等价于E真”。以公式表示，就是：IE（读作“非I等价于E”）。例如，“并非有的人是生而知之的”等价于“所有的人都不是生而知之的”。O判断的负判断等价于A判断。其公式是：OA（读作“非O等价于A”）。例如，“并非有些金属不导电”等价于“所有金属都导电”。（二）负复合判断各种复合判断也可以借助联结词（并非）构成它们的负判断。对复合判断的否定，就表现为各种复合判断之间的关系，如一个联言判断的负判断等价于一个选言判断；一个假言判断的负判断等价于一个联言判断，等等。下面分别说明负联言判断、负选言判断、负假言判断等等的逻辑特性。1 负联言判断联言判断的公式是pq，负联言判断是对联言判断的否定。其公式为：（pq）。由于联言判断的肢判断中只要有一个肢判断是假的，则整个判断就是假的。（pq）表明联言判断（pq）是假的，这就是说只要或者p是假的或者q是假的，则（pq）就是假的。用公式表示则为：（pq）（pq）这就是说“并非p且q”等价于“或者非p或者非q”。例如，“并非物美而价廉”就是等价于“或者物不美，或者价不廉”。负联言判断的逻辑特征是：否定一个联言判断，结果得到一个选言判断。负选言判断负选言判断是对一个选言判断的否定。由于选言判断的肢判断中，只要有一个选言肢是真，则整个选言判断就是真的，因而，选言判断的负判断就不能是一个相应的选言判断，而必须是各个肢判断都是否定的联言判断，可用公式表示为：（pq）（pq）例如，“并非某人或是军人或是医生”等价于“某人既非军人也非医生”。由此可见，否定选言判断，就要否定它的所有选言肢而成为一个联言判断。3.负假言判断负假言判断是对假言判断的否定。假言判断有充分条件的假言判断、必要条件的假言判断和充分必要条件的假言判断。因此，负假言判断可分为，负充分条件的假言判断、负必要条件的假言判断和负充分必要条件的假言判断。（1） 负充分条件的假言判断一个充分条件的假言判断只有当其前件真而后件假时，该假言判断才是假的，在其余情况下，它都是真的。所以，一个充分条件假言判断的负判断可以表述为“前件真而且后件假的联言判断”。可用公式表示为：（pq）（pq）例如，“并非如果金属遇热，那么金属就会膨胀”等价于“金属遇热但并不膨胀”。（2） 负必要条件的假言判断一个必要条件的假言判断只有当其前件假而后件真时，该假言判断才是假的，在其余情况下，它都是真的。所以，一个必要条件的假言判断的负判断可以表述为“前件假而且后件真的联言判断”。用公式表示可写成：（pq）（pq）例如，“并非不是天才，就不能发明创造。”等价于“不是天才，也能发明创造。”（）负充分必要条件的假言判断一个充分必要条件的假言判断当其前、后件同真或同假时，假言判断才是真的；若前、后件真假不一致，则假言判断是假的。因此，否定一个充要条件的假言判断，就等价于断定它的前、后件真假值不一致。以公式表示就是：（pq）（pq）（pq）。例如，“并非当且仅当某数能被整除，它才是偶数”，等价于“某数能被整除，但不是偶数，或某数不能被整除但它是偶数。”三常见的几种多重复合判断上面所介绍的负判断，其等价形式的肢判断可以是复合判断。例如，（pq）（pq）。联言判断的负判断其等价形式是一选言判断，而该选言判断的各选言肢就都是带否定词的复合判断。由此可以看出，包含在复合判断中的肢判断，本身可以是一个简单判断，也可以是一个复合判断。例如，假言判断的前件，可以是一个简单判断，也可是一个联言判断、选言判断或假言判断；它还可以是一个由假言、联言、选言判断以及它们的负判断组成的复合判断。一个复合判断的肢判断，也可以是复合判断，因而，复合判断可以有非常复杂的复合形式。我们把这种更加复杂的复合形式叫做多重复合判断。下面介绍几种常见的多重复合判断。（一） 以联言判断为前件或后件的充分条件的假言判断 前件为联言的假言判断。例如，“如果企业领导干部具备先进的企业管理知识，掌握现代化的生产技能，并且具有较高的科学文化水平，那么就能管理好现代化的大企业。”其逻辑形式是：如果p1，p2，并且p3，那么q或：p1p2p3q 后件为联言判断的假言判断。例如，“如果一条线段是一个三角形的中位线，那么它就平行这个三角形的第三边并且等于第三边的一半。”其逻辑形式是：如果p,那么q1，q2，并且q2或：pq1q2q23.前后件均为联言判断的假言判断。例如，“如果一条直线是经过圆心且垂直于已知弦的，那么它必平分这弦且平分这弦所对的弧。”其逻辑形式是：如果p1，p2，而且p3，那么q，q，并且或：（p1 p2 p3 ）（qqq）（二） 以联言判断为前、后件的必要条件的假言判断1前件为联言判断的必要条件的假言判断。例如，“一个数只有能被2整除并且能被3整除，这个数才能被6整除。”其逻辑形式是：只有p1并且p2，才q或：（pp2）q2后件为联言判断的必要条件的假言判断。例如，“只有两个三角形相似，才有它们的对应边成比例并且对应角相等。”其逻辑形式是：只有p，才q1并且q2或：p(q1q)3.前、后件均为联言判断的必要条件的假言判断。例如，“只有一个三角形两边相等并且其夹角为直角，才有这个三角形是等腰三角形并且是直角三角形。”其逻辑形式是：只有p1而且p2，才q1而且q2或：（pp2）(q1q)（三） 以选言判断为前件或后件的假言判断1前件为选言判断的假言判断。例如，“如果我们不具备专业化的教师素质，或者不掌握现代化的科学文化知识和先进的教育教学理论及教学技能，那么，我们就不会适应新课程改革对教师的素质需求。”其逻辑形式是：如果p1或者p2，那么q或：p1p2q2后件为选言判断的假言判断。例如，“一个数若能被5整除，则这个数的末位或是5或者是0。”其逻辑形式是：如果p，那么或者q1，或者q2或：pq1q2多重复合判断由于其肢判断本身就是复合判断，所以运用这种判断可以反映事物之间更加复杂的情况。第五节模态判断一什么是模态判断客观世界中，有些属性是某些事物可能具有（或不具有）的，有些属性是必然地属于（或不属于）某一事物的。模态判断就是断定事物情况的可能性，或必然性的判断。例如，“经过不重合两点必然有一条直线。”又如，“流感可能伴随着高烧。”二模态判断的种类模态判断是断定事物情况的可能性和必然性的判断。因此，可以把模态判断分为可能判断和必然判断。（一） 必然判断必然判断是反映和断定事物与其属性的联系具有必然性的模态判断。必然判断反映着人们对客观事物的必然性、规律性的认识。人们关于自然和社会的规律的认识，通常都是用这种判断形式来表达的。例如，“任何生物都不可能离开空气而生存。”又如，“夹在两个平行平面间的平行线段必然相等。”这些都是必然判断，它们反映着人们对于事物的规律性的认识。必然判断也可以分为两种：必然肯定判断和必然否定判断。1必然肯定判断。必然肯定判断是断定事物情况必然存在的模态判断。例如，“生物进行新陈代谢是必然的。”必然肯定判断可用公式表示为：“S必然是P”或“S是P是必然的”。也可简化为：“必然P”或“P是必然的。”如以符号表示必然，则上述的形式可以写成“P”（读作：必然P）。2必然否定判断。必然否定判断是断定事物情况必然不存在的模态判断。例如，“奇数必然不能被2整除。”必然否定模态判断可用公式表示为：S必然不是P 或 S不是P是必然的。也可简化成“P”（读作：“必然非P“）。（二）可能判断可能判断是断定事物情况的可能性的模态判断。这种判断并没有确切地肯定或否定对象具有（或不具有）某种属性，只是肯定或否定对象与性质之间的联系的可能性。“可能”含有“并非不可能”的意思。这种判断所反映的情况是暂时还不能确定，可能是这样也可能不是这样。可能判断又分为可能肯定判断和可能否定判断。1可能肯定判断可能肯定判断是断定事物情况可能存在的模态判断。例如，“火星上可能有生命存在。”可能肯定判断的公式是： S可能是P 或者 S是P是可能的。可简化为：可能P或者P是可能的。以符号表示可能，则上述公式可写成“P”（读作“可能P”）。2可能否定判断可能否定判断是断定事物情况可能不存在的模态判断。例如：“明天可能不下雨。”可能否定判断的公式是：S可能不是P 或者 S不是P是可能的。可简化为：P是可能的。也可写成“P”（读作“可能非P”）。三同一素材的模态判断之间的逻辑关系在主项、谓项相同的必然肯定判断（必然p，或p），必然否定判断（必然非p，或p），可能肯定判断（可能p,或p）和可能否定判断（可能非p,或p）之间存在着一定的逻辑关系。模态判断之间的这种逻辑关系和前面第三章第二节讲过的A、E、I、O四种直言判断的对当关系相同。p和p，p和p为从属关系，p和p为反对关系，p和p为下反对关系，p和p,p和p为矛盾关系。因为在讲模态推理时还要涉及这些问题，我们在这里对它们之间的真假关系只作一些简要的说明。(一)从属关系。可以同真，也可以同假。p真，p真；p假，p假；p假，则p真假不定；p真，则p真假不定。p和p的关系同上。(二)反对关系。不能同真，可以同假。p真，p假；p真，p假。p假，p真假不定；p假，则p真假不定。(三)下反对关系。不能同假，可以同真。p假，则p真；p假，则p真；p真，则p真假不定，p真，则p真假不定。(四)矛盾关系。不能同真，不能同假。p真，则p假；p假，则p真；p真，则p假；p假，则p真。p和p之间的关系同上。根据模态判断的矛盾关系，可以确定它们之间的等值关系。pp；pp例如，“能被2整除的数必然是偶数。”就等价于“能被2整除的数并非可能不是偶数。”应该指出，在具有同一素材的情况下，模态判断和直言判断（性质判断或实然判断）之间也有一定的逻辑关系。这种关系可以概括为：（1）p真，则p真，即pp。例如，“任何生物都是必然离不开空气的”为真，则“任何生物都是离不开空气的”也真。（2）p真，则p也真，即pp。例如，“甲队战胜了乙队”为真，则“甲队可能战胜乙队”也真。（3）p真，则p也是真的。即：pp。例如，“月球上必然没有生命”为真，则“月球上没有生命”也真。（4）p真，则p也真，即pp。例如，“甲地区没有下雨”为真，则“甲地区可能没有下雨”也真。由上述情况可以看出，由必然判断的真（或假）可以推知直言（或实然）判断的真（假）；由直言（实然）判断的真（或假）可以推知可能判断的真（或假）。反之，由可能判断的真（或假）不能推知直言判断的真（或假），由直言判断的真（或假）也不能推知必然判断的真（假）。这是因为：必然模态判断断定的最强。实然（即直言）判断断定的不如必然模态判断强，可能模态判断断定的最弱。这种情况是我们在运用判断时必须加以把握的。以上我们详细考察了简单判断、复合判断和模态判断等各种判断形式。最后我们在这里简略地谈一下判断的恰当性的问题。我们给出判断不但要符合实际，即真实，而且还要下的恰当。真实性和恰当性既有联系，又有区别。一般地说恰当的判断首先应该是真实的。但是同样一个真实的判断，在不同的时间、地点、条件下可能是恰当的，也可能是不恰当的。关于下判断既要真实、正确而又恰当，是一个极为复杂的问题，它要求有正确的立场、观点和方法，以及具体的实际知识和科学知识，这些是远非形式逻辑所能解决的了的。但是掌握了前面所考察的逻辑理论和知识，可以帮助我们从形式结构等方面着眼做出比较恰当的判断。概括来说，可以注意以下几个方面。 1.准确的使用概念。如果概念不准确或不明确，那么由这样的概念组成的判断就决不能恰当。因此在运用概念进行判断时，首先要考虑用的概念是否明白准确。 2.选用合适的判断形式。同样的一个思想、观点或主张，有时可以用不同的判断来表达。这就需要选择最恰当的判断形式。是用直言、选言、假言等判断形式，或用模态判断形式，这些都需要认真考虑。 3.对于简单判断（比如直言判断）来说，首先要注意准确使用联项，该肯定的肯定，该否定的否定。肯定和否定，意义正好相反，是绝对不得混用的。其次是正确地使用量项。是断定了对象的全体，还是断定了一部分，是多数或绝大多数，是少数或极少数，等等，这些是量项的不同层次。量项用的准不准，和判断下的恰不恰当关系极大，丝毫马虎不得。4对于一些复合判断来说，主要是把握肢判断与整个复合判断，特别是它们的真假关系。用联言判断，要考虑其转折、递进等关系；对于假言判断，必须弄清其各种条件联系，用选言判断，就要注意肢判断是否相容，等等。5下判断还必须遵守下面要讲到的逻辑规律。符合逻辑规律是判断恰当的必要条件。如果下判断的内容不确定，自相矛盾和模棱两可，那么这种判断就绝不会是恰当的。第六节 数学命题一 什么是数学命题数学的判断，通常称之为命题。数学中的公理、定理、定律等都是命题，公式可以看作是用符号形式来表示的命题，如a+b=b+a，表述了“两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变”这个判断，也是一个命题。正确的命题，如果它的真实性是从人类亿万次的实践中总结出来，并不断为实践所证实，而不是由别的命题证明出来，这样的命题叫做公理。如果命题的真实性是根据公理或其他已知其为正确的命题经过逻辑的推论而证明出来的，叫做定理。定理就是正确的命题。所以，“某定理不成立”或“某定理的逆定理不成立”的说法是不妥当的。应改为“某命题不成立”或“某定理的逆命题不成立”。由某个定理导出的定理，叫做这个定理的推论。例如，由“三角形三个内角的和等于180”这个定理，可以推出“直角三角形的两个锐角的和等于90”这个推论。一个定理，如仅为证明另一定理做准备，则称之为预备定理，或引理。数学的命题大都是假言判断。因而可以把它们表示成标准的形状：“如果某个对象具有性质A，那么这个对象也具有性质B”。或者，更简单地表成：“若A则B”。这里，“若A”是命题的条件（或前提），“则B”是命题的结论。有些命题的叙述，其中条件、结论并不经常是那么分明的，如“对顶角必相等”。但我们可以将其改写为标准形状：“若两个角为对顶角，则此两角相等。”有些命题不止包含一个条件，而是两个或更多个条件。例如，在定理“若一直线垂直而且平分已知线段，则此直线上的点到已知线段两端等距离”中，就包含着两个条件：所讨论的直线垂直于已知线段，并且平分这已知线段。有些命题不止包含一个结论，而是两个或更多个结论。例如，在定理“三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半”里，就包含着两个结论。这个定理，实际上是有同一条件的两个定理结合在一起的。有些命题不止包含一个条件，不止包含一个结论。例如，在定理“通过圆心且垂直于一已知弦的直线，必平分这弦及它所对的弧”中就包含着两个条件和两个结论。对于讨论的每一个命题，教师应该严格要求学生分清命题的条件和结论各是什么，这一点对于初学几何的学生尤其重要。如果连命题的条件和结论都分不清，还怎么进行讨论？在几何课本里，一般都谈到命题的四种形式，以及它们之间的相互关系。即：原命题AB互 否互 否互 逆逆否命题BA逆命题BA互 逆若A，则B。或AB原命题若B，则A。或BA逆命题互逆否若非A则非B。或AB否命题若非B则非A。或BA逆否命题否命题AB它们的关系如右图所示。下面我们来研究四种命题之间的真假关系。例1 原命题：如果一个多位数个位是2，那么这个多位数是偶数。（真）逆命题：如果一个多位数是偶数，那么它的个位数是2。（假）否命题：如果一个多位数的个位数不是2，那么这个多位数不是偶数。（假）逆否命题：如果一个多位数不是偶数，那么它的个位数不是2。（真）例2 原命题：如果一个四边形的四个角相等，那么这个四边形是正方形。（假）逆命题：如果一个四边形是正方形，那么它的四个角相等。（真）否命题：如果一个四边形的四个角不都相等，那么这个四边形不是正方形。（真）逆否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四个角不都相等。（假）从上面的几个例子可以看出：互逆或互否的两个命题，不一定同真、同假；但互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假。这样真则同真，假则同假的两个命题叫做等价命题。互为逆否的命题同真，可用反证法来证明：假定逆否命题“若非B，则非A”不成立。那么，命题“若非B，则A”必须成立。（排中律）由命题“若A，则B”成立，（已知）因而得到“若非B，则B”。（传递性）这个矛盾证明了逆否命题也是成立的。反之，当逆否命题成立时，同理可证原命题亦必成立。由此可知互为逆否的两个命题是等价的。即二者同为真，或同为假。我们明白了各种形式的命题之间的关系后，