第二节 数学发展简史

1 第一章概述第二节数学发展简史 2 第二节数学发展简史 数学发展史大致可以分为四个阶段 一 数学起源时期二 初等数学时期三 近代数学时期四 现代数学时期 3 一 数学起源时期 远古 公元前5世纪 这一时期 建立自然数的概念 认识简单的几何图形 算术与几何尚未分开 4 数学起源于四个 河谷文明 地域 非洲的尼罗河 西亚的底格里斯河与幼发拉底河 中南亚的印度河与恒河 东亚的黄河与长江 5 当对数的认识 计数 变得越来越明确时 人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性 于是导致了记数 人类现在主要采用十进制 与 人的手指共有十个 有关 而记数也是伴随着计数的发展而发展的 6 记数 刻痕记数是人类最早的数学活动 考古发现有3万年前的狼骨上的刻痕 古埃及的象形数字出现在约公元前3400年 巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年 中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年 古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数学的内容 年代可以追溯到公元前2000年 其中甚至有 整勾股数 及二次方程求解的记录 7 8 古巴比伦的 记事泥板 中关于 整勾股数 的记载 马其顿 1988年 20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土 其中300多块与数学有关 约公元前1000年 文达 1982年 9 西安半坡遗址 中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类活动 那里出土的彩陶上有多种几何图形 包括平行线 三角形 圆 长方形 菱形等 10 埃及金字塔 建于约公元前2900年的埃及法老胡夫的金字塔 塔基每边长约230米 塔基的正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一 11 中国的 周髀算经 公元前200年成书 宋刻本 周髀算经 西周 前1100年 上海图书馆藏 周髀算经 中关于勾股定理的记载 12 数学起源时期 远古 公元前5世纪 建立自然数的概念 认识简单的几何图形 算术与几何尚未分开 13 二 初等数学时期 前6世纪 公元16世纪 也称常量数学时期 这期间逐渐形成了初等数学的主要分支 算术 几何 代数 三角 该时期的基本成果 构成现在中学数学的主要内容 这一时期又分为三个阶段 古希腊 东方 欧洲文艺复兴 14 1 古希腊 前6世纪 公元6世纪 毕达哥拉斯 万物皆数 欧几里得 几何 原本 阿基米德 面积 体积阿波罗尼奥斯 圆锥曲线论 托勒密 三角学丢番图 不定方程 15 2 东方 公元2世纪 15世纪 1 中国西汉 前2世纪 周髀算经 九章算术 魏晋南北朝 公元3世纪 5世纪 刘徽 祖冲之出入相补原理 割圆术 算 16 第24届 国际数学家大会 会标 宋刻本 周髀算经 上海图书馆藏 17 周髀算经 中的 勾股定理 约公元前700年 周髀算经 卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话 商高答周公问时提到 勾广三股修四经隅五 这是勾股定理的特例 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子 约公元前6 7世纪 的对话中 则包含了勾股定理的一般形式 以日下为勾 日高为股 勾股各自乘 并而开方除之 得邪至日 18 中国数学史上最先完成勾股定理证明 公元3世纪三国时期的赵爽 赵爽注 周髀算经 作 勾股圆方图 其中的弦图 相当于运用面积的 出入相补 方法 证明了勾股定理 如图 19 20 宋元时期 公元10世纪 14世纪 宋元四大家 李冶 1192 1279 秦九韶 约1202 约1261 杨辉 13世纪下半叶 朱世杰 13世纪末 14世纪初 天元术 正负开方术 高次方程数值求解 大衍总数术 一次同余式组求解 21 秦九韶程序 22 2 印度现代记数法 公元8世纪 印度数码 有0 负数 十进制 后经阿拉伯传入欧洲 也称阿拉伯记数法 数学与天文学交织在一起阿耶波多 阿耶波多历数书 公元499年 开创弧度制度量婆罗摩笈多 婆罗摩修正体系 肯特卡迪亚格 代数成就可贵婆什迦罗 莉拉沃蒂 算法本源 12世纪 算术 代数 组合学 23 3 阿拉伯国家 公元8世纪 15世纪 花拉子米 代数学 阿拉伯文 还原与对消计算概要 曾长期作为欧洲的数学课本 代数 一词 即起源于此 阿拉伯语原意是 还原 即 移项 此后 代数学的内容 主要是解方程 阿布尔 维法奥马尔 海亚姆阿拉伯学者在吸收 融汇 保存古希腊 印度和中国数学成果的基础上 又有他们自己的创造 使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起 作了很好的学术准备 24 3 欧洲文艺复兴时期 公元16世纪 17世纪初 1 方程与符号意大利 塔塔利亚 卡尔丹 费拉里三次方程的求根公式法国 韦达引入符号系统 代数成为独立的学科 25 2 透视与射影几何画家 布努雷契 柯尔比 迪勒 达 芬奇数学家 阿尔贝蒂 德沙格 帕斯卡 拉伊尔3 对数简化天文 航海方面烦杂计算 把乘除转化为加减 英国数学家 纳皮尔 26 初等数学时期 前6世纪 公元16世纪 也称常量数学时期 这期间逐渐形成了初等数学的主要分支 算术 几何 代数 三角 该时期的基本成果 构成现在中学数学的主要内容 这一时期又分为三个阶段 古希腊 东方 欧洲文艺复兴 27 三 近代数学时期 公元17世纪 19世纪初 家庭手工业 作坊 工场手工业 机器大工业贸易及殖民地 航海业空前发展对运动和变化的研究成了自然科学的中心 变量 函数1 笛卡尔的坐标系 1637年的 几何学 恩格斯 数学中的转折点是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 28 1637 29 解析几何是代数与几何相结合的产物 在 几何学 里 笛卡尔给出了解析几何原理 这就是利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线 解析几何给出了回答如下问题的途径 1 通过计算来解决曲线作图的几何问题 2 求给定某种几何性质的曲线的方程 3 利用代数方法证明新的几何定理 4 反过来 从几何的观点来看代数方程 因此 解析几何是代数与几何相结合的产物 在采用坐标方法的同时 用代数方法研究几何对象 在笛卡尔之前 从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学 解析几何则使代数获得更广的意义和更高的地位 30 牛顿和莱布尼兹的微积分 17世纪后半期 微积分的起源 主要来自对解决两个方面问题的需要 一是力学的一些新问题 已知路程对时间的关系求速度 及已知速度对时间的关系求路程 二是几何学的一些老问题 作曲线在某点的切线问题 及求面积和体积的问题 31 1661入剑桥大学1667 10三一学院成员1669卢卡斯教授1696伦敦造币局1672皇家学会会员1703皇家学会会长1705封爵 牛顿 IsaacNewton 32 微分方程 变分法 微分几何 复变函数 概率论 微分方程论研究的是这样一种方程 方程中的未知项不是数 而是函数 变分法研究的是这样一种极值问题 所求的极值不是点或数 而是函数 微分几何是关于曲线和曲面的一般理论 与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展 被推广到三维情形 并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界限 微积分及其中变量 函数和极限等概念 运动 变化等思想 使辩证法渗入了全部数学 并使数学成为精确地表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的得力工具 33 4 代数基本定理 1799年 这一时期代数学的主题仍然是代数方程 18世纪的最后一年 高斯的博士论文给出了具有重要意义的 代数基本定理 的第一个证明 该定理断言 在复数范围里 n次多项式方程有n个根 34 高斯 C F Gauss 1777 1855 35 分析 代数 几何 三大分支 在18世纪 由微积分 微分方程 变分法等构成的 分析 已经成为与代数 几何并列的数学的三大学科 并且在这个世纪里 其繁荣程度远远超过了代数和几何 第三时期 近代数学时期 的基本结果 如解析几何 微积分 微分方程 高等代数 概率论等 已成为高等学校数学教育的主要内容 36 四 现代数学时期 19世纪20年代 进一步划分为三个阶段 现代数学酝酿阶段 1820 1870年 现代数学形成阶段 1870 1950年 现代数学繁荣阶段 1950 现在 这一时期虽然还不到二百年的时间 内容却非常丰富 远远超过了过去所有数学的总和 鉴于本课程的性质 对于这一时期的数学内容 我们只作简略的介绍 37 现代数学时期 19世纪20年代 康托的 集合论 2