3.1.2指数函数

指数函数 引例1 细胞分裂过程 细胞个数 第一次 第二次 第三次 2 8 4 第x次 一个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞个数y与x的函数关系是 2x y 2x 引例2 现有一根绳子长为1米 第一次剪去一半后剩下米 第二次再剪去一半后剩下米 剪了x次后剩下绳子长为y米 则y与x的函数关系式为 思考 函数y 2x与有什么相同点 自变量x在指数位置上 底数是一个大于0且不等于1的常量 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数 指数函数的定义 形如函数 叫做指数函数 其中x是自变量 探究 为什么要规定 1 若 2 若 为了便于研究 规定 a 0且a 1 1 y 2x 1 2 y 3 4X 3 y 3x 4 y 2 x 5 y 10 x 6 y 2x 1 例1 判断下列函数哪些是指数函数 不是 不是 是 不是 是 不是 1 我们研究函数的性质 通常都研究哪几个性质 3 如何得到指数函数的图象 2 借助什么方法去研究 问题探究 Y y 2x Y y 2x Y y 2x Y y 2x Y y 2x Y y 2x Y y 2x Y y 2x Y Y y 2x y 2x 2 观察图像 还发现图像与底的关系 底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称 3 指数函数中底数a不同时 图象有什么共同的特点 几何画板 增 减 增 减 例3 求下列函数的定义域 例4若函数在上是减函数 求的取值范围 过定点 例6 比较下列各题中两个值的大小 1 1 72 5 1 73 解 1 考察指数函数y 1 7x 由于底数1 7 1 所以指数函数y 1 7x在R上是增函数 而2 5 3 故1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 2 考察指数函数y 0 8x 由于0 0 2 故0 8 0 1 0 8 0 2 1 两个同底的指数幂比较大小 可运用以该底数为底的指数函数的单调性进行比 4 1 70 3 0 93 1 解 4 由指数函数的性质知 1 70 3 1 70 1 0 93 10 93 1 2 不同底的幂的大小比较可借用中间量0或1来比较 3 1 70 3 1 解 3 因为1 1 70 而由指数函数的性质知 函数y 1 7x为增函数而0 3 0 故1 70 3 1 70即1 70 3 1 例7 比较下列各组数的大小 m n C 指数函数 二 例1 截止到1999年底 我们人口约13亿 如果今后能将人口年平均增长率控制在1 那么经过20年后 我国人口数最多为多少 精确到亿 见教材P57 练习 按复利 计算利息的一种储蓄 本金为a每期利率为r 设本利和为y元 存期为x 写出本利和y随存期x的变化的函数解析式 如果存入本金1000元 每期利率为2 25 试计算5年的本金和是多少 P58 指数增长模型 例2 说明函数y 2x 1与y 2x的图象的关系 并画出它们的示意图 将y 2x的图象向左平移一个单位长度就可得到y 2x 1的图象 改为 y 2x 1 1 练习 1 函数y 3x与函数y 3 x的图象关于 对称 2 函数y 3x与函数y 3x的图象关于 对称 y轴 x轴 例4 求下列函数的值域 12 24 备选题 归纳小结 1 本节课的主要内容是 指数函数的定义 图象与性质 2