数学建模介绍参考文档

数学建模与系统仿真 主讲 许春根南京理工大学应用数学系 Tel 84315877 O Email xuchung Web 预备知识 微积分 或高等数学 线性代数 微分方程 概率论 计算机基础等 参考书 数学模型 第三版 姜启源编高等教育出版社学习参考网站 数学中国 第一章建立数学模型 1 1从现实对象到数学模型1 2数学建模的重要意义1 3数学建模示例1 4数学建模的方法和步骤1 5数学模型的特点和分类1 6怎样学习数学建模1 7数学建模的工具软件1 8数学建模竞赛 玩具 照片 飞机 火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 分子结构图 符号模型 模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 1 1从现实对象到数学模型 我们常见的模型 数学模型与数学建模 数学模型 MathematicalModel 重结果 模型 所研究的客观事物有关属性的模拟 具有事物中感兴趣的主要性质 对实体本身的模拟如 飞机形状进行模拟的模型飞机 数学建模 MathematicalModeling 重过程 对实体某些属性的模拟如 对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机 对实体某些属性的抽象如 一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化 决不是真实系统的重现 数学模型 E A Bendar定义 关于部分现实世界为一定目的而做的抽象 简化的数学结构 数学模型是现实世界的简化而本质的描述 是用数学符号 数学公式 程序 图 表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述 1 2数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学进入一些新领域 为数学建模开辟了许多处女地 现代数学 在理论上更抽象 在方法上更加综合 在应用上更为广泛 现代科技人员应具有的数学能力 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用 更重要的方面是数学的思维方式的确立 21世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数学运算能力 逻辑推理能力 数学建模能力 数据处理能力 空间想象能力 抽象思维能力 更新数学知识能力 使用数学软件能力 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 绘制方桌的俯视图 设想桌子绕中心O点旋转 转动角度记为 A B C D 1 3数学建模示例 3 1椅子能在不平的地面上放稳吗 引进函数变量 f A C两腿到地面的距离之和 g B D两腿到地面的距离之和 由假设 1 f g 都是连续函数 由 2 方桌腿足够长 至少有三条腿总能同时着地 故有 f g 0 0 2 不妨设f 0 0 g 0 0 方桌问题归结为数学问题 已知f 和g 都是连续函数 f 0 0 g 0 0 且对任意 0 2 都有f g 0 分析 当 2时 即AC和BD互换位置 故有f 2 0 g 2 0 令h f g 则有 求证 存在 0 使得f 0 g 0 因h 在 0 2 上连续 根据闭区间上连续函数的介值定理 存在 0 0 2 使 h 0 f 0 g 0 0 h 0 0 h 2 0 f 0 g 0 因对任意 有 f g 0 f 0 g 0 0 f 0 g 0 0 结论对于四条腿等长 四脚呈正方形的桌子 在光滑地面上做原地旋转 在不大于 2的角度内 必能放平 思考题 任意矩形的桌子会怎样 3 2商人们怎样安全过河 问题 智力游戏 3名商人 3名随从 随从们密约 在河的任一岸 一旦随从的人数比商人多 就杀人越货 但是乘船渡河的方案由商人决定 商人们怎样才能安全过河 问题分析 多步决策过程 决策 每一步 此岸到彼岸或彼岸到此岸 船上的人员 要求 在安全的前提下 两岸的随从数不比商人多 经有限步使全体人员过河 模型构成 xk 第k次渡河前此岸的商人数 yk 第k次渡河前此岸的随从数 xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 过程的状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允许状态集合 uk 第k次渡船上的商人数 vk 第k次渡船上的随从数 dk uk vk 决策 D u v u v 1 2 允许决策集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 skdk 1 k 状态转移律 求dk D k 1 2 n 使sk S 并按转移律由s1 3 3 到达sn 1 0 0 多步决策问题 模型求解 穷举法 编程上机 图解法 状态s x y 16个格点 允许决策 移动1或2格 k奇 左下移 k偶 右上移 s1 sn 1 d1 d11给出安全渡河方案 评注和思考 规格化方法 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况 允许状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 背景 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 3 3如何预报人口的增长 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 常用的计算公式 x t 时刻t的人口 基本假设 人口 相对 增长率r是常数 今年人口x0 年增长率r k年后人口 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假定 r 固有增长率 x很小时 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 x t S形曲线 x增加先快后慢 阻滞增长模型 Logistic模型 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报 必须先估计模型参数r或r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例 美国人口数据 单位 百万 专家估计 阻滞增长模型 Logistic模型 模型检验 用模型计算2000年美国人口 与实际数据比较 实际为281 4 百万 模型应用 预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic模型在经济领域中的应用 如耐用消费品的售量 阻滞增长模型 Logistic模型 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 CaseStudies 来学习 以下建模主要指机理分析 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 1 4数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的 问题 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模型构成 用数学的语言 符号描述问题 发挥想象力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 模型求解 各种数学方法 软件和计算机技术 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型分析 模型检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用 数学建模的一般步骤 数学建模的全过程 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 表述 求解 解释 验证 根据建模目的和信息将实际问题 翻译 成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答 翻译 回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 现实世界 数学世界 1 5数学模型的特点和分类 模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性 模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性 数学模型的特点 数学模型的分类 应用领域 人口 交通 经济 生态 数学方法 初等数学 微分方程 规划 统计 表现特性 描述 优化 预报 决策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 1 6怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术 不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想象力 洞察力 判断力 学习 分析 评价 改进别人作过的模型 亲自动手 认真作几个实际题目 1 数学建模极富创造性 2 数学建模具有很强的综合性 3 数学建模具有很强的实践性 不是数学知识的简单应用 需要全面的综合素质及能力 1 科学地识别和剖析问题 2 建立数学模型 3 对研究中所选择的模型求解数学问题 4 对有关计算提出算法和设计计算机程序 5 解释原问题的结论并评判这些结论 建立数学模型是关键而重要的一步 数学建模是所涉及到的纯数学和其它学科相互作用的一个过程 可概括为五个阶段 学习困难 1 学着用 数学和 学习 数学根本不同在于明白在何处用数学 怎样用数学 2 掌握成功运用数学建立数学模型所需的技能与理解数学概念 证明定理 求解方程所需的技巧迥然不同 建议 去做 去实践 学着用 干中学 课程特点 以介绍数学建模的一般方法为主线 着重训练运用数学知识建立数学模型的技能技巧 着重能力和相关素质的培养 理解数学知识的基础上 重点是数学方法的掌握 数学思维的建立 教学目标 培养 翻译 能力 培养用数学思想方法的综合应用分析能力 培养想象力 发展观察力 形成洞察力 培养交流与表达的能力 熟练使用技术手段 科技论文写作能力 努力不一定成功 放弃一定是失败 1 7数学建模工具软件介绍 数学建模一般借助于数学软件 如 Mathematica Matlab SAS MathCADMaple Mathematica3 0 4 0窗口简介 Mathematica2 1窗口简介 Mathematica的画图功能 数学软件的种类及其特点 通用符号计算软件通用数值运算软件专业软件计算程序库教学 演示类软件 符号计算软件 MathematicaReduceMapleMuMathDeriveEureke 数值运算软件 MATLABMathCAD 专业软件 统计软件 SAS SPSS有限元计算 ANSYS SAP球体几何及大地测量 Spheric神经网络 NeuralWorkProfessional 程序库 早期的FORTRAN计算库NumericalRecipes通用C语言数值计算程序库一些专业计算包 非特定语言 其他教育软件 MathCADSmathMathExtra 数学软件在教学中的应用 大规模运算数值实验辅助教学 一个用计算机做数学的系统 MATHEMATICA Mathematica Mathematica的基本功能 数值运算 NumericComputation 符号运算 AlgebricComputation 图像处理 Graphics 语言功能 ProgramingLanguage Mathematica在数学建模中的应用举例 迭代计算与绘图求最大 最小值复杂积分的计算微分方程的求解方程 组 的求解 矩阵运算 Matlab6 0窗口简介 MATLAB是基于矩阵的一种计算工具 它已经成为世界各国高校和研究人员中最为流行的软件之一 它提供了丰富可靠的矩阵运算 数据处理 图形绘制 图像处理等便利工具 并且由于Matlab的广泛应用 很多理论的创始人在MATLAB上开发了相关的工具箱 现在MATLAB附带的各方面工具箱有 控制系统 通讯 符号运算 小波计算 偏微分方程 数据统计 图像 金融 LMI控制 QFT控制 数字信号处理 模糊控制 模型预估控制 频域辨识 高阶谱分析 统计学 非线性控制系统 图像处理 神经元网络 m分析 信号处理 插值 优化 鲁棒控制 控制系统设计 系统辨识等等 并且MATLAB提供了图形化的时域仿真程序 Simulink 在高校中还开发有 振动理论 化学统计学 语音处理等等方面的工具箱 使用MATLAB 工作效率可能有成百上千倍的提高 使得研究工作真正是在做研究 而不是在编程 使用MATLAB大大简化了学习和研究中编程量 比如 使用C或者Fortran编写一个优化的程序 一般需要几百行或者几千行的程序 并且在首次写程序时还可以能需要大量的时间来调试这个程序 当这个程序能够运行时 可能花费掉一个星期或者更长的时间 而下一次在进行另一种优化方法的运算时 需要同样的时间工作 也就是说 使用这些语言编程时 大量时间花在了编程序上 而不是研究人员应当做的思考工作 大大降低了工作效率 如果使用MATLAB编程 一个优化程序只需要10行以下的程序 因此基本不会出现错误 这样在1分钟左右就完成了编程 并且马上就可以运行看到结果 如果想改变优化算法 只需要把优化的函数名改掉就可以了 也就是说使用MATLAB 工作效率可能有成百上千倍的提高 使得研究工作真正是在做研究 而不是在编程 1 8数学建模竞赛介绍 数学建模竞赛的特点是题目由工程技术 管理科学中的实际问题简化加工而成 对数学知识要求不深 一般没有事先设定的标准答案 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神 由于竞赛是由三名大学生组成一队 在三天时间内分工合作 共同完成一篇论文 因而也培养了学生的合作精神 尽管数学建模已有了很久的历史 数学建模课程却还是很年轻的一门课程 在70年代末和80年代初 英国著名的剑桥大学专门为研究生开设了数学建模课程 差不多同时 欧美一些发达国家开始把数学建模的内容列入研究生 大学生以至中学生的教学计划中去 并于1983年开始举行两年一度的 数学建模教学和应用国际会议 进行定期交流 数学建模教学及其各种活动发展异常迅速 成为当代数学教育改革的主要方向之一 竞赛活动介绍 学校数学建模竞赛 6月份 全国大学生数学建模竞赛 9月底 ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling CUMCM 国际 美国 大学生数学建模竞赛 1 2月份 TheMathematicalContestinModeling MCM 中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况MCM 年度参赛队数 中国队数 MCM 8590 0 MCM 89211 4 占1 9 MCM 90235 6 占2 6 MCM 91260 21 占8 1 MCM 92292 26 占8 9 MCM 93259 40 占15 4 MCM 94315 84 占26 7 MCM 95320 84 占26 2 MCM 96393 115 占29 3 MCM 97409 107 占26 2 MCM 98472 138 占29 2 MCM 99479 155 占32 4 MCM 2000495 169 占34 1 MCM 2001496 198 占39 9 ICM 200183