曲线上一点处的切线

1 1 2曲线上一点处的切线 执教者 金志春 常熟市梅李中学 1 什么叫做平均变化率 几何意义 平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势 一般地 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率 曲线y f x 上两点连线的斜率 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 放大 放大 1 观察 点P附近的曲线 随着图形放大 你看到了怎样的现象 曲线有点像直线 2 这种现象下 这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了这种思维方式就叫做 逼近思想 直线 从上面的图形来看 1 曲线在点P附近看上去几乎成了直线l 4 用直线l的斜率来刻画曲线经过p点时的变化趋势 3 点P附近可以用这条直线l代替曲线 2 继续放大 曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l 这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 P Q o x y y f x 割线 切线 l 探究怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 1 在点P附近能做出比PQ更加逼近曲线的直线l吗 2 在点P附近还能做出更加逼近曲线的直线l吗 如图 设Q为曲线C上不同于P的一点 直线PQ称为曲线的割线 y O x P Q 切线定义 随着点Q沿曲线C向点P运动 直线PQ在点P附近逼近曲线C 当点Q无限逼近点P时 直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l 这条直线l也称为曲线在点P处的切线 这种方法叫割线逼近切线 利用直尺 用割线逼近切线的方法作出下列曲线在P点处的切线 P P P为已知曲线C上的一点 如何求出点P处的切线方程 试求f x x2在点 2 4 处的切线斜率 Q x 试求f x x2在点 2 4 处的切线斜率 练习 试求f x x2 1在x 1处的切线斜率 练习 试求f x x2 1在x 1处的切线斜率 当 x无限趋近于0时 割线逼近切线 割线斜率逼近切线斜率 找到定点P的坐标设出动点Q的坐标 求出割线斜率 y x O y f x x x0 x0 x P Q f x0 x f x0 切线 割线 P x0 f x0 Q x0 x f x0 x x 0时 点Q位于点P的右侧 y f x x 0时 点Q位于点P的左侧 2 求出割线PQ的斜率 并化简 求曲线y f x 上一点P x0 f x0 处切线斜率的一般步骤 3 令 x趋向于0 若上式中的割线斜率 逼近 一个常数 则其即为所求切线斜率 1 设曲线上另一点Q x0 x f x0 x M 即 y 变式1 已知函数f x x2 求曲线y f x 在x 1处的切线斜率和切线方程 变式2 已知函数f x x 1 求曲线y f x 在x 1处的切线斜率和切线方程 练习 已知f x 求曲线y f x 在x 0 5处的切线斜率是什么 练习 已知函数f x 1 x2 0 5 求曲线y f x 在x 0 5处的切线斜率和切线方程 小结1 曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线 则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映 局部以直代曲 2 根据定义 利用割线逼近切线的方法 可以求出曲线在一点处的切线斜率