球体的表面积与体积

球的体积和表面积 割圆术 早在公元三世纪 我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了 倍边法割圆术 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数 使其面积与圆的面积之差更小 即所谓 割之弥细 所失弥小 这样重复下去 就达到了 割之又割 以至于不可再割 则与圆合体而无所失矣 这是世界上最早的 极限 思想 球面 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面 球 即球体 球面所围成的几何体 它包括球面和球面所包围的空间 半径是R的球的体积 推导方法 分割 求近似和 化为准确和 复习回顾 球的概念 二 球的概念 点集角度 旋转体角度 球面所围成的几何体叫球体简称球 球面 半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面 球体与球面的区别 在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合 半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面 球体与球面的区别 球面概念 球面所围成的几何体叫球体简称球 0 A C D 球心 半径 直径 半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面 旋转体角度 球面概念 在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合 点集的角度 二 球的概念 球的截面的形状 圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆 球的体积公式的推导 球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导 教学重点 教学难点 重点难点 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆 高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来 所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 球的体积 我们把一个半径为R的圆分成若干等分 然后如上图重新拼接起来 把一个圆近似的看成是边长分别是 当所分份数不断增加时 精确程度就越来越高 当份数无穷大时 就得到了圆的面积公式 即先把半球分割成n部分 再求出每一部分的近似体积 并将这些近似值相加 得出半球的近似体积 最后考虑n变为无穷大的情形 由半球的近似体积推出准确体积 球的体积 分割 求近似和 化为准确和 问题 已知球的半径为R 用R表示球的体积 球的体积 O R O A 球的体积 球的体积 球的体积 2 若每小块表面看作一个平面 将每小块平面作为底面 球心作为顶点便得到n个棱锥 这些棱锥体积之和近似为球的体积 当n越大 越接近于球的体积 当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积 1 球的表面是曲面 不是平面 但如果将表面平均分割成n个小块 每小块表面可近似看作一个平面 这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积 当n趋近于无穷大时 这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积 球面不能展开成平面图形 所以求球的表面积无法用展开图求出 如何求球的表面积公式呢 回忆球的体积公式的推导方法 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢 下面 我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式 球的表面积 球的表面积 第一步 分割 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 球的表面积 第二步 求近似和 由第一步得 球的表面积 第三步 化为准确和 如果网格分的越细 则 小锥体 就越接近小棱锥 球的表面积 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 例题讲解 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 例题讲解 变式2 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 球内切于正方体 侧棱长为5cm 例题讲解 例2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 例题讲解 理论迁移 例3如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 例4 已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 例题讲解 例4已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例题讲解 2 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm 这个球的体积为 cm3 8 3 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 倍 练习一 课堂练习 正方体的内切球直径 正方体的外接球直径 与正方体所有棱相切的球直径 探究若正方体的棱长为a 则 a 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 练习二 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 课堂练习 7 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 5 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 6 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 练习二 课堂练习 了解球的体积 表面积推导的基本思路