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第3章流体动力学理论基础 第3章流体动力学理论基础 运动流体 第3章流体动力学理论基础 第3章流体动力学理论基础 第3章流体动力学理论基础 研究思路 理想流体 0 实际流体 0 研究内容 p p x y z t u u x y z t 基本理论 质量守恒定律 牛顿第二定律 重点掌握 恒定总流的三大基本方程 3 1描述流体运动的方法 拉格朗日法研究对象 流体质点或质点系 固体运动常采用拉格朗日法研究 但流体运动一般较固体运动复杂 通常采用欧拉法研究 3 1描述流体运动的方法 欧拉法研究对象 流场当地加速度 时变加速度 迁移加速度 位变加速度 3 2研究流体运动的若干基本概念 恒定流动与非恒定流动一元流动 二元流动 三元流动流线与迹线定义 3 2研究流体运动的若干基本概念 基本方程流线性质一般情况 流线不能相交 且只能是一条光滑曲线 迹线 3 2研究流体运动的若干基本概念 流线充满整个流场 定常流动时 流线的形状 位置不随时间变化 且与迹线重合 流线越密 流速越大 例题1 3 2研究流体运动的若干基本概念 流管 元流 总流 过流断面 3 2研究流体运动的若干基本概念 流量 断面平均流速流量 单位时间通过的流体量 常用单位 m3 s或L s换算关系 1m3 1000L 3 2研究流体运动的若干基本概念 断面平均流速过流断面上实际流速分布都是非均匀的 在流体力学中 为方便应用 常引入断面平均流速概念 3 2研究流体运动的若干基本概念 均匀流与非均匀流 渐变流均匀流 各流线为平行直线的流动 其迁移加速度等于零 即非均匀流 各流线或为曲线 或为彼此不平行的直线 其迁移加速度不等于零 即天然河流为典型的非均匀流动 非均匀流动根据其流线弯曲程度又可分为渐变流和急变流 3 2研究流体运动的若干基本概念 渐变流 流线近似为平行直线的流动 或流线的曲率半径R足够大而流线之间的夹角 足够小的流动 3 2研究流体运动的若干基本概念 渐变流过流断面的两个重要性质渐变流过流断面近似为平面 渐变流过流断面上的动压近似按静压分布 即 3 3流体运动的连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的数学表达式 一 连续性微分方程取如图所示微小六面体为控制体 分析在dt时间内流进 流出控制体的质量差 3 3流体运动的连续性方程 x方向 3 3流体运动的连续性方程 Y方向 Z方向 据质量守恒定律 单位时间内流进 流出控制体的流体质量差等于控制体内流体面密度发生变化所引起的质量增量 即 3 3流体运动的连续性方程 将代入上式 化简得 或上式即为流体运动的连续性微分方程的一般形式 3 3流体运动的连续性方程 对于恒定不可压缩流体 连续性方程可进行简化 定常流或 不可压缩流体或 例题2 3 3流体运动的连续性方程 二 连续性积分方程取图示总流控制体 将连续性微分方程对总流控制体积分 3 3流体运动的连续性方程 因控制体不随时间变化 故式中第一项 据数学分析中的高斯定理 式中第二项 3 3流体运动的连续性方程 故得连续性积分方程的一般形式为 3 3流体运动的连续性方程 三 定常不可压缩总流的连续性方程 对于定常不可压缩 常数 总流 连续性积分方程可简化为 3 3流体运动的连续性方程 取图示管状总流控制体 因其侧面上un 0 为什么 请思考 故有 3 3流体运动的连续性方程 式中第一项取负号是因为流速u1与dA2的外法线方向相反 应用积分中值定理 可得 上式即为恒定不可压缩总流的连续性方程 说明 流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力的运动学方程 因此对实际流体和理想流体均适用 例题3 3 4理想流体运动微分方程 将欧拉平衡微分方程 推广到理想运动流体 得上式也称为欧拉运动微分方程 3 5能量 伯努利 方程 一 理想流体定常元流的伯努利方程 将各项点乘单位线段 得 3 5能量 伯努利 方程 为积分上式 现附加限制条件 定常流 不可压缩流体 质量力只有重力 f ds gdz 沿流线积分 3 5能量 伯努利 方程 代入整理积分得 或沿同一流线上式即为理想流体定常元流的伯努利方程 1 2 S 3 5能量 伯努利 方程 伯努利方程的物理意义 伯努利方程的几何意义 3 5能量 伯努利 方程 二 实际流体定常元流的伯努利方程 实际流体由于粘性的存在 在运动过程中 存在能量耗散 机械能沿流线不守恒 设为单位重量流体沿线的机械能损失 亦称水头损失 则据能量恒定律 可得实际流体定常元流的伯努利方程 3 5能量 伯努利 方程 为了形象地了解流体运动时能量沿示的变化情况定义 测压管线坡度 总水头线坡度 实际流体 理想流体 均匀流体 例题4 3 5能量 伯努利 方程 三 实际流体定常总流的伯努利方程实际工程中往往要解决的是总流问题 现将实际流体定常元流的伯努利方程推广到总流 适用条件流体是不可压缩的 流动为定常的 质量力只有重力 过流断面为渐变流断面 两过流断面间没有能量的输入或输出 否则应进行修正 3 5能量 伯努利 方程 式中 H为单位重量流体流过水泵 风机所获得的能量 取 或流进水轮机失去的能量 取 应用定常总流的伯努利方程解题时 应注意的问题 基准面 过流断面 计算点的选取 压强p的计量标准 例题5 例题6 3 6动量方程 一 欧拉型积分形式的动量方程 据理论力学知 质点系的动量定理为 上式是针对系统而言的 通常称为拉格朗日型动量方程 现应用控制体概念 将其转换成欧拉型动量方程 3 6动量方程 如图所示 设t时刻系统与控制体 虚线 重合 控制体内任意点的密度为 流速为 3 6动量方程 t时刻系统的动量 t t时刻系统的动量 3 6动量方程 将t时刻和t t时刻系统的动量代入拉格朗日型动量方程 整理得 上式即为欧拉型积分形式的动量方程 3 6动量方程 二 定常不可压缩总流的动量方程 对于恒定不可压缩总流 欧拉型 积分形式的动量方程可简化为 式中 3 6动量方程 故 上式即为恒定总流的动量方程 其中 称为动量修正系数 一般流动 1 02 1 05 工程中常见流动通常取 1 0 3 6动量方程 适用条件不可压缩流体 定常流动 应用时应注意的问题动量方程为矢量方程 应用时必须按矢量规则进行计算 例题7 伯努利简介 丹 伯努利 DanielBernoull 1700 1782 瑞士科学家 曾在俄国彼得堡科学院任教 他在流体力学 气体动力学 微分方程和概率论等方面都有重大贡献 是理论流体力学的创始人 伯努利以 流体动力学 1738 一书著称于世 书中提出流体力学的一个定理 反映了理想流体 不可压缩 不计粘性的流体 中能量守恒定律 这个定理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式 他的固体力学论著也很多 他对好友欧拉提出建议 使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状 即获得弹性曲线的精确结果 1733 1734年他和欧拉在研究上端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数 并在由若干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了拉格尔多项式 他在1735年得出悬臂梁振动方程 1742年提出弹性振动中的叠加原理 并用具体的振动试验进行验证 他还考虑过不对称浮体在液面上的晃动方程等 例题1 例1 已知平面流动的流速分布为ux kxuy ky其中y 0 k为常数 试求 流线方程 迹线方程 解 据y 0知 流体流动仅限于xy半平面内 因运动要素与时间t无关 故该流动为恒定二元流 流线方程 积分得 该流线为一组等角双曲线 例题1 迹线方程 积分得 与流线方程相同 表恒定流动时 流线与迹线在几何上完全重合 例题2 例2 假设不可压缩流体的流速场为ux f y z uy uz 0试判断该流动是否存在 解 判断流动是否存在 主要看其是否满足连续性微分方程 本题 满足 故该流动存在 例题3 例3 已知变扩管内水流作恒定流动 其突扩前后管段后管径之比d1 d2 0 5 则突扩前后断面平均流速之比v1 v2 解 据恒定不可压缩总流的连续性方程有v1 v2 d2 d1 2 4 例题4 例4 皮托管是一种测量流体点流速的装置 它是由测压管和一根与它装在一起且两端开口的直角弯管 称为测速管 组成 如图所示 测速时 将弯端管口对着来流方向置于A点下游同一流线上相距很近的B点 流体流入测速管B点 该点流速等于零 称为驻点 动能全部转化为势能 测速管内液柱保持一定高度 试根据B A两点的测压管水头差计算A点的流速 例题4 例题4 解 先按理想流体研究 由A至B建立恒定元流的伯努利方程 有故考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响 实际应用时 应对上式进行修正 式中 称为皮托管系数 由实验确定 通常接近于1 0 例题5 例5 如图所示管流 已知H d hW 试求通过流量Q 并绘制总水头线和测压管水头线 例题5 解 据1 2建立总流的伯努利方程 有 得 例题5 讨论在理想流体情况下 hw 0 则在H d不变情况下 若欲使Q增加 可采取什么措施 例题6 例6 文丘里流量计是一种测量有压管道中液体流量的仪器 它是由光滑的收缩段 喉管与扩散段三部分组成 如图所示 已知 或 试求管道的通过能量Q 例题6 解 从1 2建立总流的伯努利方程 取 则得 式中 可据总流的连续性方程求得 例题6 将其