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第四章不定积分 第一节不定积分的概念和性质 定义1设函数F x 与f x 都在区间I上有定义 如果对于任意的x I都有F x f x 或dF x f x dx则称F x 是f x 在区间I上的一个原函数 例如x3是3x2在整个区间上的函数 cosx是sinx的原函数 一 原函数与不定积分的概念 下面的问题是已知原函数的存在 怎样求 定理1若函数f x 在区间I上连续 则它在I上存在原函数F x 即对于任意的x I 都有F x f x 例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续 它们都有原函数 定理2设F x 是f x 在区间I上的一个原函数 则 1 F x C也是f x 的原函数 2 f x 的任意两个原函数之间仅相差一个常数 证明 1 因为 F x C F x f x 所以F x C也是f x 的原函数 2 设F x 和G x 是f x 在区间I上的任意两个原函数 由于 G x F x G x F x f x f x 0所以G x F x C G x F x C 这表示f x 如果存在原函数 则所有的原函数只相差一个常数 定义2f x 在区间I上的原函数全体称为f x 在I上的不定积分 记作 称为积分号 f x 为被积函数 f x dx为被积表达式 x为积分变量 C是积分常数 注意 所有的原函数在图象上是相互平移的曲线 在同一点它们有相互平行的切线 如果要求原函数的曲线通过某一点 则此曲线对应的原函数是唯一的 例1求函数f x 3x2的不定积分 例2 求 解 解 例3设曲线y f x 的切线斜率为2x 且曲线通过点 1 2 求此曲线方程 解 代入初值条件 得到2 1 C C 2 1 1f x x2 1 由此可见 微分和积分是互为逆运算 先算不定积分后求导 则它们相互抵消 反之先微分再不定积分 则抵消后相差一个常数 例4下列各函数是同一函数的原函数吗 分析 因为同一函数的原函数之差是一常数 我们有 是同一函数的原函数 所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致 但可以变形成相同的原函数 它们只相差一个常数 由于微分和积分是互为逆运算 所以把第二章中的基本微分公式逆写 就得到基本积分表 二 基本积分表 例5 把被积函数展开成代数和的形式 然后再积分的情况是常用的方法 而被积函数都是幂函数又是不定积分中用得最多的 初学者往往容易出错 例如 1 把求导和积分搞混了 2 3 虽然分清求导和积分 但在系数 正负号的处理上有错误 对这类积分的计算应该先写出原函数中x的幂次 为原来的幂次加1 再把现在的幂次的倒数作为系数 例如 三 不定积分的性质 性质1若函数f x 与g x 在区间I上的原函数都存在 则 性质2若函数f x 在区间I上的原函数存在 实数k 0 则 推论若fi x i 1 2 n 在公共区间I上都有原函数 且
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