信号分析与处理——傅里叶变换性质ppt课件.ppt

三 傅立叶变换的基本性质 线性奇偶性对偶性尺度变换特性时移特性 频移特性微分特性积分特性帕斯瓦尔定理卷积定理 傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式 时域描述和频域描述 为了进一步了解信号的这两种描述形式之间的相互关系 如 信号的时域特性在频域中如何对应 在频域中的一些运算在时域中会引起什么效应 等等 必须讨论傅立叶变换的一些重要性质 另外 很多性质对简化傅立叶变换或反变换的求取也很有用 1 线性 叠加性 若 则 例 求x t 的傅立叶变换 已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为 利用线性性质可得 2 奇偶性 无论x t 是实函数还是复函数 都有下面结论 若 则 2 85 的含义为 2 85 时域共轭对应频域共轭并且反摺 证明 由傅立叶变换定义式 取共轭 以 代替 对于x t 是实函数的特殊情况 则有下面结论 由于 再根据 2 85 可以得 等价为 2 86 2 86 的含义为 实函数的傅立叶变换具有共轭对称性 由傅里叶变换的定义 有 显然 频谱函数的实部和虚部分别为 2 87 频谱函数的幅度和相位分别为 2 88 下面讨论 当为 1 实函数 2 实偶函数 3 实奇函数的情况下 的奇偶 虚实特性 1 当为实函数的情况下 由 可知 可知 由 即 当为实函数 其频谱函数的实部为偶函数其频谱函数的虚部为奇函数 即 当为实函数 其频谱函数的幅度为偶函数其频谱函数的相位为奇函数 2 当为实偶函数的情况下 由 可知 偶 奇 即 当为实偶函数 其频谱函数为实函数 加上前面关于实函数情况的结论 综合得到 当为实偶函数 其频谱函数为实偶函数 x t 0 t 0 实偶函数 实偶函数 例 3 当为实奇函数的情况下 由 可知 奇 偶 即 当为实奇函数 其频谱函数为虚函数 加上前面关于实函数情况的结论 综合得到 当为实奇函数 其频谱函数为虚奇函数 x t 0 例 实奇函数 虚奇函数 3 对偶性 若则 证明 由傅立叶反变换式 自变量t变成 t 将t和 互换 含义 对进行傅里叶变换 所得频谱函数为 例 例2 10求取样函数的傅立叶变换 解 由式 2 62 可知 宽度为 幅度为E的矩形脉冲信号的傅立叶变换为 若取 则 由对偶性 得 1 2 0 0 0 0 4 尺度变换特性 若 则 证明略 p48 含义 在时域上将信号压缩到倍 则在频域上其频谱扩展倍 同时幅度相应地减小到倍 也就是说 信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频带的展宽 反之 信号波形在时域的扩展 意味着频域中信号频带的压缩 时域中的压缩 扩展 等于频域中的扩展 压缩 x t 2 压缩 扩展 图2 50表示了单位矩形脉冲信号尺度变换 前后的时域波形及其频谱 2 50 5 时移特性 若 则 信号在时域中沿时间轴右移 或左移 则在频域中 信号的幅度频谱不变 而相位频谱产生 或 的变化 2 92 式 2 92 的含义为 例2 11求图2 46 a 表示的信号的频谱 解 a 可看成是 b 和 c 所示的信号的组合 a b c 的频谱函数分别为 由线性和时移特性 有 例 求三脉冲信号的频谱 求如下三脉冲信号的频谱函数 为P36页的标准矩形脉冲信号 解 6 频移特性 若 则 证明 由傅立叶变换定义 同理有 2 94 2 94 的含义为 在时域将信号乘以因子 对应于在频域将原信号的频谱右移 即往高频段平移 在时域将信号乘以因子 对应于在频域将原信号的频谱左移 即往低频段平移 频谱搬移 这种频谱搬移 就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质 幅度调制技术简称调幅技术 即 将被调制信号乘以正弦信号 常称载波信号 得到调制信号 其频谱函数为 原频谱一分为二 各向左 右移动 在移动过程中幅度谱的形式保持不变 举例说明其体现在频谱图上的效果 为什么要对信号进行调制 7 微分特性 若 则 证明 由傅立叶反变换定义 两边对t求导 有 以此类推 有 所以有 例 求三角脉冲的频谱 方法一 代入定义计算 方法二 利用微分性质计算 微分 根据微分性质 所以有 8 积分特性 若 则 如果 则有 证明 p53自己阅读 例 求斜平信号的频谱 可以看成矩形脉冲的积分 积分 由标准矩形脉冲信号的频谱和时移性质 可得的频谱为 由积分性质 可得的频谱为 又因为 所以得 9 帕斯瓦尔定理 若 则 帕斯瓦尔公式表明 对在整个频率范围内积分 可以得到信号的总能量 式 2 100 为有限能量信号的帕斯瓦尔公式 2 100 因此 反映了信号的能量相对于频率的分布 称为能量密度谱 简称能谱 即 10 卷积定理 1 时域卷积定理 若 则 时域卷积定理表明 两个信号在时域的卷积积分 对应了频域中该两信号频谱的乘积 由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算 简化了运算过程 例 求两个矩形脉冲卷积后的频谱 矩形脉冲的表达式为 它们所对应的频谱为 由时域卷积定理有 两个矩形脉冲卷积后的结果