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文档简介

3 2 2用向量方法求空间中的角 学习目标1 理解直线与平面所成角的概念 2 能够利用向量方法解决线线 线面 面面的夹角问题 课堂互动讲练 知能优化训练 3 2 1用向量方法求空间中的角 课前自主学案 课前自主学案 1 两条异面直线所成的角的范围是 2 直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的 所成的角 其范围是 3 二面角的大小就是指二面角的平面角的大小 其范围是 4 已知直线l1的一个方向向量为a 1 2 1 直线l2的一个方向向量为b 2 2 0 则两直线所成的角为 射影 0 30 1 异面直线所成角的求法设两异面直线所成角为 它们的方向向量分别为a b 则cos 2 直线与平面所成角的求法设直线l与平面 所成角为 直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 则sin cos n a 1 异面直线所成的角是否等于它们的方向向量所成的角 提示 不一定 若方向向量所成角小于等于90 则相等 若方向向量所成角大于90 则不相等 2 直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗 提示 不一定 课堂互动讲练 两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得 但二者不完全相等 当两方向向量夹角为钝角时 应取其补角作为两异面直线所成的角 四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD PA与平面ABCD所成的角为60 在四边形ABCD中 ADC DAB 90 AB 4 CD 1 AD 2 1 建立适当的坐标系 并写出点B P的坐标 2 求异面直线PA与BC所成的角的余弦值 思路点拨 利用正三棱柱的性质 建立适当的空间直角坐标系 写出有关点的坐标 求角时有两种思路 一是由定义找出线面角 取A1B1的中点M 连结C1M 证明 C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角 另一种是利用平面A1ABB1的法向量n x y 求解 利用向量法求二面角的步骤 1 建立适当的空间直角坐标系 2 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 3 求出两个法向量的夹角 4 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角 5 确定出二面角的平面角的大小 2010年高考天津卷 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC CC1上的点 CF AB 2CE AB AD AA1 1 2 4 1 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值 2 证明AF 平面A1ED 3 求二面角A1 ED F的正弦值 思路点拨 解答本题首先建立空间坐标系 写出一些点的坐标 再利用向量法求解 名师点评 1 利用空间向量求线线角 线面角的关键是转化为直线的方向向量之间 直线的方向向量与平面的法向量之间的角 通过数量积求出 通常方法分为两种 坐标方法 基向量方法 解题时要灵活掌握 2 利用向量方法求二面角的方法分为二类 一类是找到或作出二面角的平面角 然后利用向量去计算其
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