（试题 试卷 真题）字母表示数2

学科：奥数教学内容：字母表示数经验谈【内容综述】在代数中，常用英文字母或希腊字母来代替数，这是数学的一大进步，也是从小学过渡到中学的一个门坎，代数总结了算术中的一般规律，因此方法上具有普遍性，英国伟大的科学家牛顿写的代数教科书，就叫作普遍算术，牛顿在这本书里写了一段话：“要解答一个问题，如果里面包含着数量间的抽象关系，只要把题目从日常的语言译成代数的语言就行了。”为此，必须掌握“日常的语言到代数的语言”的翻译技巧。【要点讲解】1、巧列代数式：所谓巧列代数式，就是要恰当地用字母代替数，准确地将日常语言翻译成字母的运算式。例1.（1）一块木板被切成m块边长为x 厘米的正方形与n块边长为y厘米的正方形后，无任何多余的边料，问木板面积是多少？（2）一幢大楼取暖需m吨煤，现已从中用去n吨，为了使余下的还能用七天，今后必须每天用多少吨煤？（3）某厂预定在一定期限内生产a套工具，因此计划每天生产b套，由于工人们突破定额，每天比原计划多生产m套，结果该厂比原计划提前几天完成任务？（4）已知容器盛满浓度为a%的盐水100克，倒出x克后，又用水加满，问后来盐水浓度为百分之几？（5）某人上班时步行，回家时乘车，路上共用a小时，如果往返都乘车，则共需b小时，那么往返都步行需要多少小时？解：（1） （2）（3） （4）（5）说明 在列代数式时同学们应注意以下几点：（1）在同一问题中，不同的对象或不同的数量，必须用不同的字母来表示。（2）字母与字母相乘时，可省去乘号。（3）代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时，必须把带分数化为假分数。（4）在所列代数式中，若有相除关系，要写成分数形式。（5）列代数式时应注意单位。单位名称在代数式后面写出来，如结果为加减关系，必须用括号将式子括起来，再写单位名称。例2.一个笼子里放了若干只鸡和兔子，数了一下，它们共有m个头，n只脚，试问鸡和兔子各有多少只？解法1. 设想m只都是鸡，就有2m只脚，这比已知的总脚数n少了n-2m, 把一只兔算作鸡要少（4-2）=2只脚，则兔数=，而，因鸡数和兔数是非负数，即 所以m和n必须满足的条件是，解法2. 设想m只都是兔子，就有4m只脚，这比已知的总脚步数n多了4m-n,把一只鸡算作兔子要多（4-2）=2只脚，则，而，同解法1. 知m和n必须满足条件。说明 这道著名的“鸡兔同笼”问题还有一个著名的解法（见波利亚数学的发现），设想每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其两条后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即条腿，在这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则算了两次。从这个数减去所有的头数m，就得兔子的头数。从而 。2求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程。当代数式较简单时，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值。例3已知, 求的值。解法1 由得，代入所 求代数式化简说明 这里用代入消元法消去a来化简求值，当然也可以消去b来化简求值。解法2 因，所以原式 说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的。解法3 因为 ，所以原式 = 说明 这种解法巧妙地利用了，并将3ab化为，从而凑成了。解法4. 因为，所以，即 所以 即 说明 这种解法是由，演绎推理出所求代数式的值。解法 5说明 这种解法是添项，凑出，然后化简求值。例4. 某商店有幸福金笔和英雄金笔共143支，幸福金笔每支6元，英雄金笔每支3.78元。某学校购了该商店的全部英雄金笔和部分幸福金笔，经过核算后，发现应付款的总数与幸福金笔的总数无关，问购买的幸福金笔是该商店幸福金笔总数的百分之几？应付款的总数是多少元？解设购买幸福金笔占幸福金笔总数的百分比为x ,幸福金笔总数为m支，付款总数为T元，则由题意得 T与m 无关， ， ，这时 T=540.54（元）。说明 解此题的关键应抓住“付款的总数与幸福金笔的总数无关”这句话。3. 用字母表示常数解题在某些数字问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，是一种非常有效的解题技巧。例5. 若，试比较A、B的大小。解： 设，则 ， 即 ，而，故，即。例6 证明，是两个连续自然数的积。思路可先试算12，1122，111222，寻找规律。证明 含，则 N是两个连续自然数的乘积。说明 从特例分析找出规律，作出猜想，再给出证明，是解探索型问题的常用思维模式。【同步达纲练习】1. 甲、乙两人骑自行车自相距k千米的两地同时出发，若同方向而行，r小时后快者可追上慢者；若相向而行，t小时后两者相遇，则快者与慢才速度之比为（ ）。（A）（B）（C）（D）2. 若规定运算 ，则_。3. 若a , b , c , d 都是整数，其中, 并且满足，试求代数式的最大值。4. 甲、乙两人在圆形跑道上从同一点A并且同时出发按相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和7米，到他们第一次在A点再相遇时跑步结束，问他们从开始开结束之间相遇多少次？参考答案【同步达纲练习】1（D） 提示：设快者速度为，慢者速度为，则，由此得 。2 提示：。3由知也是整数，将4个等式相加，得，即。 ，。当，时，代数式的值为。4两人从A点出发后，