函数的零点与极值点.doc

评审编号（ ） 评审等级（ ）函数的零点与极值点 摘要：函数的零点和极值点是高中数学研究函数时两个重要的概念，正确理解它们，可以帮助我们更好的研究函数问题。关键词 零点 极值点 极值 函数的零点和极值点是高中数学研究函数时两个重要的概念，正确理解它们，可以帮助我们更好的研究函数问题。对于函数的零点，在函数的零点和不动点一文中，我有详细论述（本文不再赘述）。本文主要论述如何从函数极值的概念来理解函数的极值点以及函数的零点与极值点之间的关系。1. 函数的极大值与极小值、极值点1.1函数极值和极值点的一般定义设函数在其定义域内某一点附近总有定义。如果对于附近的所有点，都有，那么是函数的一个极大值，记作；。点叫做函数的极大值点。如果对于附近的所有点，都有，那么是函数的一个极小值，记作；。点叫做函数的极小值点。函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。1.2对函数极值定义的理解函数的极值反映了函数在其定义域内某一点附近的大小情况，刻画的是函数的一个局部性质。极值点不是一个点，而是函数定义域内的一个实数，是函数取极值时相应的一个自变量的值。注意函数的极值和最值的区别。最值是考察函数在定义域内的函数值的一个有界性问题，是考察函数的整体性质，不是局部性质。利用求函数极值的方法有时可求出函数的最值。2可导函数的极值、极值点2.1利用导函数可以研究函数的极值、极值点设函数在其定义域内某一点附近总有定义，并且处处可导。如果对于附近的所有点，都有，且，那么是函数的一个极大值，记作；。而且在附近的左侧有，右侧有。如果对于附近的所有点，都有，且，那么是函数的一个极小值，记作；。而且在附近的左侧有，右侧有。根据可导函数与其极值间的上述关系可知，函数曲线在其极值点处的切线斜率为0，而在其极大值点处左侧切线的斜率为正，右侧切线的斜率为负；在其极小值点处左侧切线的斜率为负，右侧切线的斜率为正。据此，我们可以对可导函数的极值概念作进一步的理解：函数在点及其附近有定义，是指在点处及其左右邻域有意义；极值是一个局部概念，仅对定义域内的某一点左右两邻域而言；极值点总是函数定义域的某个开区间内的点，而区间端点绝不是函数的极值点；连续函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能一个也没有，函数的极大值和极小值也没有必然的大小关系，即函数的一个极大值不一定大于函数的一个极小值，函数的极小值不一定比极大值小。2.2可导函数的极值点与其导函数的零点的关系可导函数的极值点是其导函数的异号零点，导函数的异号零点也是可导函数的极值点；导函数的同号零点是可导函数拐点，而可导函数的拐点未必是其导函数的同号零点。弄清可导函数的极值点、拐点与其导函数的零点之间的关系，便于研究函数一些相关的问题。注意，拐点是高中数学不作要求的，本文不再作进一步阐述。同时，我们还应注意：导数为0的点未必是极值点。如函数在处的导数为0，但它不是极值点。对于可导函数，极值点处的导数必为0，因此，对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件。另外，函数的导数不存在的点也可能是极值点。如函数在处的导数不存在，但它是函数的极小值点。2.3求可导函数的极值与极值点的方法根据可导函数的极值点和其导函数的零点之间的关系，我们可得求函数极值的方法。解方程，求的解，即函数的零点。当时，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。由此，我们可得求可导函数极值的步骤：确定可导函数的定义域；求可导函数的导函数；令导函数为零，求出导函数的全部零点；判断所求导函数的零点是否是异号零点；根据异号零点的情况再求出可导函数的极大