椭圆知识点和例题.doc

2.2.1椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为时，椭圆即为点集2.椭圆标准方程:焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程。分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出引导学生用其他方法来解。解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则。例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程。解：设，；为线段的中点，；，点的轨迹方程为；例3如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程。分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程。解：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程。 为：。课堂小结1.能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义；2.能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示；3.正确推导椭圆的标准方程，理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系。拓展提升1如果方程表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ） A（0，+） B（0，2） C（1，+） D（0，1）2若椭圆过点（2，），则其焦距为（ ）A.2 B.2 C. 4 D. 4 3设F是椭圆的一个焦点，椭圆上至少有21个点P1，P2，P3，P21，使得数列PiF(i=1,2,21)成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是 （ ）A B C D6已知AB是过椭圆左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是 。7已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 。8.已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，6），P为椭圆上的一个动点，试求|PM|PF2|的取值范围。参考答案1D【解析】距离之和恰好等于两定点间的距离。2C【解析】运用离心率的计算公式。3C【解析】用椭圆定义4D【解析】将方程化成标准形式5C【解析】将点的坐标代入，求b6D【解析】考虑特殊情况74【解析】用椭圆定义 8.解：由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20，故 |PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+201 |PM|-|PF1|MF1| =10，故 |PM|+|PF2|30（当且仅当P为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；2 |PF1|-|PM|MF1| =10，故 |PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）10（当且仅当P为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为10，30。 2.2.2椭圆的简单几何性质新授课阶段1.椭圆的简单几何性质 范围：由椭圆的标准方程可得，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； 2.椭圆性质的运用例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量解：依题意，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：当焦点在轴上，即时，有，得；当焦点在轴上，即时，有，例2过椭圆C：上一点P引圆O：的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点.（1）设，且，求直线AB的方程；（2）若椭圆C的短轴长为8，且，求此椭圆的方程；（3）试问椭圆C上是否存在满足=0的点P，说明理由解：（1）直线AB的方程：;（2）椭圆C的方程：;（3）假设存在点满足=0，连结OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形， |OP|=|OA|, . 又P在椭圆上,. 由得，. , . 当即时，椭圆C上存在点P满足题设条件；当即时，椭圆C上不存在满足题设的点P.课堂小结1.掌握椭圆的简单几何性质；2.能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；3.理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，充分利用图形对称性，注意图形的特殊性和一般性.作业见同步练习部分拓展提升1点在椭圆的左准线上，过点且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B C D2一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是 .3已知AB是过椭圆左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是 .4已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 .5把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，求|PF1|PF2|PF7|的值.6在直角坐标平面内，已知两点A（3，0）及B（3，0），动点P到点A的距离为8，线段BP的垂直平分线交AP于点Q.（1）求点Q的轨迹T的方程；（2）若过点B且方向向量为（1，）的直线l，与（1）中的轨迹T相交于M、N两点，试求AMN的面积.7已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（m,0）(m是大于0的常数). (1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.8.已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.参考答案1A【解析】求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程.2【解析】直接用公式.32【解析】数形结合用定义.44【解析】用椭圆定义. 535【解析】用焦半径公式：|PFi|= aexi.6解：（1）由于QB=QP，故AQ+BQ=APAB，Q点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆 其中2a=8,a=4,a2=16, c=3,c2=9, b2=a2c2=7 椭圆方程为 （2）l过点B且方向向量为（1，），l的方程为y=（x3）将直线方程代入椭圆方程化简得：55x2288x320=0x1+x2=,x1x2= |x1x2|=|MN|=|x1x2|= A到MN的距离 SAMN= 7