二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 一选择题（共8小题）1已知二次函数y=ax22x+2（a0），那么它的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2抛物线y=2x2，y=2x2，y=x2共有的性质是（）A开口向下B对称轴是y轴 C都有最低点Dy的值随x的增大而减小3抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A（2，1）B（0，1）C（1，0）D（1，2）4对于二次函数y=（x1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A开口向下B对称轴是x=1C顶点坐标是（1，2）D与x轴有两个交点5二次函数y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A函数有最小值B对称轴是直线x= C当x，y随x的增大而减小D当1x2时，y06如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A0或2B0或1C1或2D0，1或27已知二次函数y=a（xh）2+k（a0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A6B5C4D38抛物线y=（x1）23的对称轴是（）Ay轴B直线x=1C直线x=1D直线x=3二填空题（共6小题）9如果抛物线y=x2+（m1）xm+2的对称轴是y轴，那么m的值是_10抛物线y=2x21在y轴右侧的部分是_（填“上升”或“下降”）11已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_12二次函数y=x24x5的图象的对称轴是直线_13如果抛物线y=（a+3）x25不经过第一象限，那么a的取值范围是_14若抛物线y=2x2mxm的对称轴是直线x=2，则m=_三解答题（共6小题）15在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象16如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？17已知抛物线y=x2x1（1）求抛物线y=x2x1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2x1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值18如图，已知抛物线y=x2x6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sinOCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值19若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_个；（2）求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”（3）试探究a1与a2满足的数量关系20已知二次函数y=x2+2x+3图象的对称轴为直线（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1知二次函数y=ax22x+2（a0），那么它的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：二次函数的性质分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论解答：解：二次函数y=ax22x+2（a0）的对称轴为直线x=0，其顶点坐标在第一或四象限，当x=0时，y=2，抛物线一定经过第二象限，此函数的图象一定不经过第三象限故选C点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键2抛物线y=2x2，y=2x2，y=x2共有的性质是（）A开口向下B对称轴是y轴 C都有最低点Dy的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可解答：解：y=2x2，y=x2开口向上，A不正确，y=2x2，开口向下，有最高点，C不正确，在对称轴两侧的增减性不同，D不正确，三个抛物线中都不含有一次项，其对称轴为y轴，B正确，故选B点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键3抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A（2，1）B（0，1）C（1，0）D（1，2）考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标解答：解：y=2x2+1=2（x0）2+1，抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（xh）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键4对于二次函数y=（x1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A开口向下B对称轴是x=1C顶点坐标是（1，2）D与x轴有两个交点考点：二次函数的性质专题：常规题型分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点解答：解：二次函数y=（x1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点故选：C点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点式为y=a（x）2+，的顶点坐标是（，），对称轴直线x=b2a，当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下5二次函数y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A函数有最小值B对称轴是直线x= C当x，y随x的增大而减小D当1x2时，y0考点：二次函数的性质专题：压轴题；数形结合分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当1x2时，抛物线落在x轴的下方，则y0，从而判断D解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a0，所以，当x时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当1x2时，y0，错误，故D选项符合题意故选：D点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题6如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A0或2B0或1C1或2D0，1或2考点：二次函数的性质专题：数形结合；分类讨论；方程思想分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2故选：D点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用7已知二次函数y=a（xh）2+k（a0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A6B5C4D3考点：二次函数的性质专题：计算题分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h4解答：解：抛物线的对称轴为直线x=h，当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，x=h4故选：D点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点8抛物线y=（x1）23的对称轴是（）Ay轴B直线x=1C直线x=1D直线x=3考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的顶点式y=（xh）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可解答：解：抛物线y=（x1）23的对称轴是直线x=1故选：C点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方二填空题（共6小题）9如果抛物线y=x2+（m1）xm+2的对称轴是y轴，那么m的值是1考点：二次函数的性质分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值解答：解：y=x2+（m1）xm+2的对称轴是y轴，m1=0，解得m=1，故答案为：1点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键10抛物线y=2x21在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）考点：二次函数的性质分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案解答：解：y=2x21，其对称轴为y轴，且开口向上，在y轴右侧，y随x增大而增大，其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键11已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2考点：二次函数的性质分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解解答：解：点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，抛物线的对称轴为直线x=2故答案为：直线x=2点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键12二次函数y=x24x5的图象的对称轴是直线x=2考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解解答：解：对称轴为直线x=2，即直线x=2故答案为：x=2点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记13如果抛物线y=（a+3）x25不经过第一象限，那么a的取值范围是a3考点：二次函数的性质分析：根据抛物线y=（a+3）x25不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围解答：解：抛物线y=（a+3）x25不经过第一象限，a+30，解得：a3，故答案为：a3点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限14若抛物线y=2x2mxm的对称轴是直线x=2，则m=8考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可解答：解：由题意得，=2，解得m=8故答案为：8点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键三解答题（共6小题）15在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象考点：二次函数的图象分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：21012y=2x282028y=2x2+193139点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点16如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作ABx轴与B，先根据旋转的性质得OA=OA=2，AOA=60，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA=1，AB=OB=，则A点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=（x1）2+的顶点解答：解：（1）二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）解得：h=1，a=，抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作ABx轴于点B，线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，OA=OA=2，AOA=60，在RtAOB中，OAB=30，OB=OA=1，AB=OB=，A点的坐标为（1，），点A为抛物线y=（x1）2+的顶点点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质17已知抛物线y=x2x1（1）求抛物线y=x2x1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2x1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值解答：解：A、y=x2x1=x2x+1=（x）2，顶点坐标是（，），对称轴是x=；（2）当y=0时x2x1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+=3，当m=时，m2+=（）2=3，m2+=3点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值18如图，已知抛物线y=x2x6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sinOCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案解答：解：（1），抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2x6=0，解得x1=2，x2=3，点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，6），；（3）点P（m，m）在这个二次函数的图象上，m2m6=m，即m22m6=0，解得，点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式19若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；（2）求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”（3）试探究a1与a2满足的数量关系考点：二次函数的性质专题：新定义分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案解答：解：（1）无数； （2）令y=0，即x2+3x+2=0解得：x1=1，x2=2二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（2，0），（1，0） （3分）y=x2+3x+2=（x+）2顶点坐标为（，）设以（2，0）为顶点且经过（，）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将x=，y=代入y=a（x+2）2得 a=1二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函