娃娃2.1.1指数与指数幂的运算（一）

第二章基本初等函数 2 1 1指数与指数幂的运算 1 在初中学过正整数指数幂 将用 表示 这里的n为正整数 如 3 3 3 3 3 3 36 3 3 3 3 3 3 5 an am n am n amn ambm 平方根 立方根 a a a 当生物死亡后 它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减 大约每经过5730年衰减为原来的一半 这个时间称为 半衰期 根据此规律 人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系 当生物死亡了5730 2 5730 3 5730年后 它体内碳14的含量分别为当生物体死亡了6000年 10000年 100000年后 它体内碳14的含量P分别又为多少呢 根式 32 9 3 2 9 23 8 2 3 8 24 16 2 4 16 25 32 2 5 32 n次方根的概念 一般地 如果xn a 那么x叫做a的n次方根 n 1 且n 23 8 2 3 8 2 5 3227 128 8的3次方根是2 8的3次方根是 2 32的5次方根是 2 128的7次方根是2 奇次方根 1 正数的奇次方根是一个正数 2 负数的奇次方根是一个负数 二 n次方根的性质 72 49 7 2 4934 81 3 4 81 49的2次方根是7 7 81的4次方根是3 3 偶次方根 2 负数的偶次方根没有意义 1 正数的偶次方根有两个且互为相反数 想一想 哪个数的平方为负数 哪个数的偶次方为负数 26 64 2 6 64 64的6次方根是2 2 正数的奇次方根是正数 负数的奇次方根是负数 零的奇次方根是零 二 n次方根的性质 1 奇次方根有以下性质 2 偶次方根有以下性质 正数的偶次方根有两个且是相反数 负数没有偶次方根 零的偶次方根是零 根式的概念 式子叫做根式 其中n叫做根指数 a叫做被开方数 根指数 根式 被开方数 1 成立吗 2 成立吗 3 成立吗 探究 由xn a可知 x叫做a的n次方根 9 8 归纳总结1 当n是奇数时 对任意a R都有意义 它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根 当n是偶数时 只有当a 0有意义 当a 0时无意义 表示a在实数范围内的一个 n次方根 另一个是 归纳总结2 式子对任意a R都有意义 结论 an开奇次方根 则有 结论 an开偶次方根 则有 公式1 四 n次方根的运算性质 适用范围 当n为大于1的奇数时 a R 当n为大于1的偶数时 a 0 公式2 适用范围 n为大于1的奇数 a R 公式3 适用范围 n为大于1的偶数 a R 根式的运算性质 1 2 当n为奇数时 当n为偶数时 8 10 例1 求下列各式的值 数学运用 例2 求下列各式的值 1 2 3 4 已知a b c为三角形的三边 则 当8 x 10时 再次观察以下式子 并总结出规律 a 0 小结 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时 根式可以写成分数作为指数的形式 分数指数幂形式 根式的被开方数不能被根指数整除时 根式是否也可以写成分数指数幂的形式 如 思考 规定 1 正数的正分数指数幂的意义为 2 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同3 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂无意义 二 分数指数 说明 1 根式与分数指数幂是可以互换的 分数指数幂只是根式的一种新的写法 而不是2 由于整数指数幂 分数指数幂都有意义 因此 有理数指数幂是有意义的 整数指数幂的运算性质 可以推广到有理数指数幂 性质 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用 例1 求值 例题 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 其中a 0 例3 计算下列各式 式中字母都是正数 例4 若 则 整体代换思想 例3 化简下列各式 1 2 当8 x 10时