132球的表面积与体积

1 3球的体积和表面积 二课时 1 半径为R的球的体积是 2 半径为R的球的表面积是 引入 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 例题讲解 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 例题讲解 例2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 例题讲解 变式训练2 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4 体积为16 则这个球的表面积为 A 16 B 20 C 24 D 32 提示 底面是正方形 侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱 解析 该四棱柱的底面积为4 从而底面边长为2 其外接球的直径为该四棱柱的体对角线 R S 4 R2 24 答案 C 例3 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的2 3 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 证明 1 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为2R 例题讲解 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 课堂练习一 易错探究 例4 2010 广州模拟 已知某个几何体的三视图如图 主视图中的弧线是半圆 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 cm3 错解 上半部分为半球体 下半部分是正方体 体积为 答案 B 错因分析 半球体从每个方向看都是半圆 而三视图的侧视图中顶部并不是半圆 所以该几何体的顶部不是半球 正解 由三视图知 该几何体的下半部分是棱长为2的正方体 上半部分是半个圆柱 所以体积为V 8 答案 A 例5已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例题讲解 例题讲解 例6 有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 分析 作出截面图 分别求出三个球的半径 解 设正方体的棱长为a 1 正方体的内切球球心是正方体的中心 切点是六个面的中心 经过四个切点及球心作截面如右图 所以有2r1 a r1所以 2 球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点 过球心作正方体的对角面得截面 如下图 所以S2 4 r22 2 a2 3 正方体的各个顶点在球面上 过球心作正方体的对角面得截面 如下图所示 所以有所以S3 4 r23 3 a2 综上可得S1 S2 S3 1 2 3 思考 体积之比又是多少呢 3 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 1 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 2 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 课堂练习三 4 若球的大圆面积扩大为原来的2倍 球的体积扩大为原来的 A 8倍B 4倍C 2倍D 2倍 解析 大圆的面积扩大为原来的2倍 半径扩大为原来的倍 所以球的体积扩大为原来的2倍 答案 C 5 与正方体各面都相切的球 它的表面积与正方体表面积之比为 解析 设正方体的棱长为a 依题意知 内切球的直径为a 球的表面积S球 4 正方体的表面积S正 6a2 S球 S正 答案 D 6 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长为2cm 则球的表面积是 A 8 cm2B 12 cm2C 16 cm2D 20 cm2 解析 依题意知 球的直径为正方体的对角线 球的半径为 球的表面积S 4 答案 B 7 2007 天津 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上