331几何概型(教学用)

几何概型 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 能否用古典概型的公式来求解 事件A包含的基本事件有多少 为什么要学习几何概型 引例 早在概率论发展初期 人们就认识到 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的 借助于古典概率的定义 设想仍用 事件的概率 等于 部分 比 全体 的方法 来规定事件的概率 不过现在的 部分 和 全体 所包含的样本点是无限的 用什么数学方法才能构造出这样的数学模型 显然用几何的方法是容易达到的 问题 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 事实上 甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与字母B所在区域的位置无关 因为转转盘时 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的 不管这些区域是相邻 还是不相邻 甲获胜的概率是不变的 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 即实验结果在一个区域内均匀分布 故与该区域的形状位置无关 只与该区域的大小有关 在几何概型中 事件A的概率的计算公式如下 解 设A 等待的时间不多于10分钟 我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率的公式得即 等待的时间不超过10分钟 的概率为 例1 某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 一 与长度有关的几何概型 练习 一 与长度有关的几何概型 二 与角度有关的几何概型 练习 三 与面积有关的几何概型 四 几何概型的应用 随机模拟 练习 课本 P1401 2 课本 P142A组1 2 3 练习 五 与体积有关的几何概型 练习 六 几何概型的应用 练习 例3 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 六 几何概型的应用 解 以横坐标x表示报纸送到时间 以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即时间A发生 所以 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立模型 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 把问题转化为几何概率问题 利用几何概率公式求解 六 几何概型的应用 甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一个人一刻钟 到时即可离去 求两人能会面的概率 思考 六 几何概型的应用 练习 练习 课本 P142B组1 2 向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻 那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少 由此能